格子点が並んでいる様子を考えます.
例として4×6のものを考えると
・ ・ ・ ・ ・ ・
・ ・ ・ ・ ・ ・
・ ・ ・ ・ ・ ・
・ ・ ・ ・ ・ ・
この様になります.
この時,格子点4つを結んで作ることができる正方形の枚数は
3×5+2×4+1×3=26個と求めることが出来ます.
これを証明によって一般化すると,縦にm・横にn(ただしm<n)の格子点がある時,
格子点4つを結んで作ることができる正方形の枚数は
(m-1)(n-1)+(m-2)(n-2)+・・・+(m-m+1)(n-m+1)枚になることが解ります.
更に,点と辺の長さの関係に注目すると
(m+n-1)×0+(m+n-3)×1+(m+n-5)×2+・・・(m+n+1-2n)×mでも求めることができます,証明は省略します.
(上の例ですと9×0+7×1+5×2+3×3=26)
他の求め方はありますでしょうか?
もしくは,一般化によって何か別の定理が出るといったことはありますでしょうか・・・.
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