面と線分のなす角度

以前質問させていただいたことに追加でわからない点が出てきましたので質問させていただきます。

xyz座標系で(0,0,1)(0,1,0)(1,0,0)の３点を通る面があります。また、(x1,y1,z1)(x2,y2,z2)の2点を両端とした線分があります。面に対しても線分がどれだけ傾いているか(線と面のなす角θ)はどのようにしたら求められますでしょうか？例えば(2,2,2)(3,3,3)を通る線分を考えて、面に対して平行移動してみようと思うのですが、そのやり方がよくわからないのです。よろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： 10ken16 回答日時： 2008/08/12 13:04

面と考えるから分かりにくいです。

面の方程式は、
ax+by+cz+d=0の一般形で与えられますが、
この係数が法線ベクトルになっています。
線分の方向ベクトルは分かっていますから、

法線ベクトルと方向ベクトルから、
両ベクトルの（内積の定義を用いて）なす角（の余弦）が
得られます。そこまで行けばあと少し！

No.2 回答者： info22 回答日時： 2008/08/12 13:09

3点を通る平面の式は

x+y+z=1
この法線ベクトルは(1,1,1)
2点A(2,2,2),B(3,3,3)を通る直線の方向ベクトル(1,1,1)
直線の方向ベクトルと平面の法線ベクトルが平行なので
平面と直線のなす角θは(π/2)[ラジアン]ですね。
2点A,Bの例が特殊で、例としてはよくないですね。

一般には
この直線上の点B（平面外の点とする）から平面に下した垂線BH(Hは垂線の足),平面と直線の交点をPとすると∠BPHが平面と直線のなす角θになります。直角三角形BPH(∠BHP=∠R(直角))の辺の比やベクトルPB↑とPH↑の内積からcosθが求められます。

質問者の解答を補足に書いて質問するようにして下さい。