にゃんこ先生の自作問題、３直線の式から内接円を求める公式はありますか？

にゃんこ先生といいます。

平面上の３直線の式（またはその係数）から、それで作られる三角形の内接円の式を求める公式はありますか？

No.2 ベストアンサー 回答者： take_5 回答日時： 2008/08/16 19:11

内接円を求める公式なんて、そんな便利なものはない。

ただ、4点を通る円を求める“公式とは言えないが”簡単な方法はある。
所謂“束”の考え方を使う方法だが。


問題

次の4直線によって囲まれる4辺形の4つの頂点は同一円周上にある事を示せ。
y＝1、2x-y＋1＝0、2x＋3y＝5、8x＋y＝16.

4つの交点など求めない簡単な方法が。。。。笑

この回答への補足

その問題では、4直線の順番も考慮しないといけないのですよね。
束の考えですか。
考えましたが分かりません。
どうか教えてください。

補足日時：2008/08/16 23:35

No.7 回答者： take_5 回答日時： 2008/08/17 10:28

＞この問題は、α(x＋3y-1)(2x-y＋5)+β(2x-y＋5)(x-2y-3)+γ(x-2y-3)(x＋3y-1)=0を考えるのでしょうか?

ＯＫ。

＞2直線の式の積を2次曲線とみなすなんてすばらしいアイデアですね。

2直線の交点を通る直線をα*（x＋3y-1）＋β*（2x-y＋5）＝0と表せる事は知ってるだろう。それの応用に過ぎない。
と、言うより先に書いた定理があって、それの応用として、2直線の交点を通る直線をα*（x＋3y-1）＋β*（2x-y＋5）＝0と表せるだけ。

No.6 回答者： take_5 回答日時： 2008/08/17 00:14

＞2直線の式が与えられたとき、その交点における角の２等分線も簡単に求められます。

距離が等しいので。

そんな事をするなら、＃1さんが示している解法の方が余程簡単だよ。
何れの解法でも、ヘッセの公式を使ってる。何の変わりもない。

No.5 回答者： take_5 回答日時： 2008/08/17 00:01

＞どうか教えてください。

定理

2つの2次曲線：f（x、y）＝0、g（x、y）＝0が異なる4点で交わる時、2次曲線：α*f（x、y）＋β*g（x、y）＝0はその4点を通る。

解答

先ず、図を描いて向かい合った直線を考える。
αとβは同時に0とはならないとして、α*f（x、y）＋β*g（x、y）＝α（y-1）*（2x-y＋1）＋β（2x＋3y-5）*（8x＋y-16）＝0　‥‥(1)　であるから、展開するとこれが円を表すから、xyの係数＝0でなければならないから、αとβの関係式が求まる。
それを(1)に代入すると。。。。。。。以下省略。
あまり綺麗な答えにはならないだろう。。。。実際には計算してないが。

この回答への補足

ありがとうございます。
2直線の式の積を2次曲線とみなすなんてすばらしいアイデアですね。

x＋3y-1＝0、2x-y＋5＝0、x-2y-3＝0で作る三角形の外接円の方程式を求めよ。

この問題は、
α(x＋3y-1)(2x-y＋5)+β(2x-y＋5)(x-2y-3)+γ(x-2y-3)(x＋3y-1)=0
を考えるのでしょうか?

補足日時：2008/08/17 00:30

No.4 回答者： take_5 回答日時： 2008/08/16 22:38

さっき書き忘れたが。

。。。。。笑

3直線で出来る三角形の面積をＳ、3辺の長さを、a、b、c、2s＝a＋b＋cとすると、Ｓ＝s*r（r：内接円の半径）位は知ってるだろう。
しかし、これでは内接円の半径は求まるが、内心は出ない。

やはり無理だし、それにそんな公式は-仮にあっても-意味ないと思うよ。

この回答への補足

2点の座標が与えられたとき、それを結ぶ線分の垂直二等分線は簡単に求められます。距離が等しいので。
3点の座標が与えられたとき、その外接円は簡単に求められます。

2直線の式が与えられたとき、その交点における角の２等分線も簡単に求められます。距離が等しいので。
なので、3直線の式が与えられたとき、その内接円も簡単に求めたい気になるのですが。

補足日時：2008/08/16 23:43

No.3 回答者： take_5 回答日時： 2008/08/16 20:53

さっきの回答から当然にもわかると思うが、3直線から外接円を求めるのも同じく“束”を使うと簡単に行く。

x＋3y-1＝0、2x-y＋5＝0、x-2y-3＝0で作る三角形の外接円の方程式を求めよ。

（答）x＾2＋y＾2＋（5/3）x＋5y－（20/3）＝0.

No.1 回答者： nious 回答日時： 2008/08/16 10:37

例えば内接円の中心を(p,q)、半径をrとして、

3つの直線の式と点と直線との距離の公式を使い、
全てが距離rだから連立させたらどうでしょうかね。

この回答への補足

３直線の式から内接円を求める方法はもちろん知っています。
それを公式にして、具体的に式にしたらどうにゃるかしりたいのです。
よろしくお願いします。

補足日時：2008/08/16 14:24