重み レギュレータ

制御工学の勉強をしているのですが、「重み」という言葉がよく出てきます。Ｈ∞制御でも最適レギュレータにも出てきます。
この「重み」「重み行列」のイメージが全然つかめません。
　また、例えばステップ入力応答をみることで制御の良し悪しが判断できるのがよく分かりません。早い時間で目標値に近づけるのがいいのが分かりましたが、これは「何かしらの外乱があったときにより早く目標値に近づけようとしている。」とイメージして良いのでしょうか？
　初歩的な質問で申し訳ないです。

No.1 回答者： Hyperservo 回答日時： 2008/10/03 23:48

最適レギュレータの「重み」とは要求に対する割合です。

制御システムに対しては
１）高速な応答を実現させたい
２）省エネな駆動をさせたい
３）どちらもある程度満たしたい
などの要求があります。最適レギュレータは「重み」を用いて３）を達成させるものです。

まず、現代制御では最初の方に「状態フィードバック」を習うかと思います。そこでは「極配置」によってシステムの極を決定しますよね？
普通は、出力ｙが指令値ｒに出来るだけ速く収束して欲しいので、
そのような極を選んであげます。そうすると、制御入力ｕはものすごく大きな値が必要になります（人間でも、物を速く動かそうとすると大きな力（加速度）が必要ですよね。）。

制御入力ｕが飽和しないような場合では、それでもＯＫです。
ですが、実際には無限に大きな制御入力を与えるのは困難です。電流、電圧やその他の制限が出てきます。この場合、配置する極を少し遅いものにしてやれば、制御入力ｕは飽和しにくくなります。

ここまでの話で、「対象の動きを速くする」ことと「制御入力を小さくする」ことは相反する要求になっていることが分かります（トレードオフ）。

最適レギュレータでは、この「対象の動きを速くする」重みＲと、「制御入力を小さくする」重みＱを用意しておきます。どちらの割合を多くするかは設計者が「重み」で決定できます。この設計者が勝手に決めた「重み」に対して、評価関数が最小になる（つまり、どっちの重みも考慮された妥当な制御入力：最高の妥協点）がリカッチ方程式の解として求まります。

このように、設計者が「重み」を用いることで「設計者の意思」を制御系に反映できるようになります。この方法は評価関数を用いているので、基本的には、求まった解は 物理的な解釈を持ちにくい です。ですが、人間の感覚を無視して極を最適に配置することから、極に対する感度が低下する（パラメータ変動に強い）というメリットも持ちます。

＞ステップ入力応答をみることで制御の良し悪しが判断できるのがよく分かりません。

制御の良し悪し判断するには、理想的にはインパルス入力が良いと思われます。ですが、インパルス入力は現実の世界では実現不可能（幅零で振幅∞の信号は作れません）なので、代わりにステップ入力が用いられています。ステップ入力を微分すると、インパルス入力が出てきますよね。なので、「ステップ入力応答」を見れば間接的にシステムのインパルス応答がわかるわけです。

例として、2つのシステムＧ１、Ｇ２を評価したいとします。Ｇ１とＧ２は共に一次遅れシステムでそれぞれ折れ点が50Hzと200Hzだとします。このＧ１、Ｇ２に非常にゆっくりした正弦波 1Hzを入力した場合、どちらのシステムからも同じ応答波形が出てきます。これじゃあ、どっちが速いのか分かりませんね。
この点、ステップ入力なら明らかに差が出ます。というのもステップ入力の立上がり部分は∞の勾配なので、連続系でこれに完全に追従できるシステムは存在しません（ゲインのみのシステムは除く）。

その他にも、現実の産業機器ではステップ入力がシステムに入力されることが多いです。ですので、ステップ応がそのまま仕様を満たすかのチェックになるということです。

以上、長文失礼いたしました。

この回答へのお礼

ありがとうございます。凄く分かりやすい説明でした。
重みの漠然としたイメージがどんどん固まってきました。
「折れ点が50Hzと200Hzだとします」とありますがそれぞれがこの周波数以上の振動がきたら応答が変わる。と考えてもいいですか？

お礼日時：2008/10/04 00:35

No.2 回答者： Hyperservo 回答日時： 2008/10/04 01:16

＞「折れ点が50Hzと200Hzだとします」とありますがそれぞれがこの周波数以上の振動がきたら応答が変わる。

と考えてもいいですか？

そうです、変わります。ですが、どの周波数で変わるのか？は普通は分かりません。（それを調べるのに周波数応答をとります）

ステップ応答であれば、殆ど全ての周波数成分を同時に印加したと考えられるので、かなりラフではありますが制御対象がどのようなモデル（おおまかな次数、代表根の時定数、不安定零点の有無など）なのかが分かります。

この回答へのお礼

なるほど、どの周波数で変わるのかを調べるために周波数応答を取るんですね。ありがとうございます。

周波数応答で制御対象がどのようなモデル（おおまかな次数、代表根の時定数、不安定零点の有無など）なのかが分かります。

とありますが、これは制御対象がどのような伝達関数（ノミナルプラントっていうんですか？）を持っているのか分かると言っているんですよね？
　そこでまた疑問が出てきたんですが
例）実機クレーンの重りを目標値に持っていくときに、振り子の揺れの安定化を図り、できるだけ早く目標値に到達させる制御設計をする際、なぜ周波数を見ただけで設計の良し悪しが分かるのでしょうか？
　実機と周波数の関係のイメージ繋がりが中々出来ません（涙
　

お礼日時：2008/10/05 01:40

No.3 回答者： Hyperservo 回答日時： 2008/10/06 12:26

学生の方ですか？研究なのであれば自分で調べたほうが良いと思いますよ。

「倒立振子」「エネルギー制御」なんかで調べればたくさん出てきます。振り子などの現象であれば、周波数ベースよりも時間とかエネルギベースの設計の方がいい気もします。


＞実機と周波数の関係のイメージ繋がりが中々出来ません（涙
周波数応答と時間応答は対の関係にあります。時間応答をみて、大体のノミナルプラント（周波数応答）が想像できるように、周波数応答をみても、大体の時間応答は予測できます。

たとえば減衰の悪い時間応答をしていたら、少なくとも2次系以上のプラントで、ダンピングが1未満だな、とか分かりますよね？逆に周波数応答がゲイン0のフラットで高周波まで伸びていて、さらにロールオフした先に小さな共振ピーク（ピークが-40dBとか）がある場合、ステップ応答では、オーバーシュートしないで（バタワースなら少ししますけど）目標値に追従する。で、立ち上がりの部分だけ少し共振の影響がでる（代表根は低周波、その他は高周波なので）。とかはわかります。

なので、目標値追従特性の周波数特性が分かればどの様にして目標値に収束するかが一目でわかりますし、開ループ特性を見れば制御系の安定余裕（ゲイン・位相）が分かりますので、ロバスト安定性が評価できる。または仕様を満たすような制御器を設計できます。（ここら辺は古典制御の設計になります）

そういったところが周波数応答をみる利点ですかね。

周波数応答を使った制御系設計は古典制御の醍醐味なので、イメージがわかないのであればそちらを勉強したほうがいいですよ。

この回答へのお礼

ほんとに沢山のヒントありがとうございました。
私に制御は向いてないと思っていたんですが、イメージが出来ていくうちに興味が出てきました。

まだまだ、勉強段階ですが研究にまでレベルを上げていきたいと思います。

お礼日時：2008/10/08 12:37