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仮定が直接的に意味することは sum ||x_n|| が収束するということですね.
ゆえに,点列 {sum_{n = 1}^{N} ||x_n||} は R 上のCauchy列であると言えます.
この事実と,自然数 M, N (M < N) に対して
|| sum_{n = 1}^{N} x_n - sum_{n = 1}^{M} x_n ||
= || sum_{n = M}^{N} x_n ||
<= sum_{n = M}^{N} || x_n ||
が成り立つことから,{sum_{n = 1}^{N} x_n} は E 上のCauchy列.
Banach空間の完備性により,sum x_n は収束します.
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