光学の問題。

Question

こんばんわ。僕は、光学に興味があります。独学で勉強しているのですが、いくつか分からない問題があるので教えて下さい。

１、物体に含まれる高周波雑音を取り除くためには、どのようにするか。
　　
これは、高パスフィルターか、低パスフィルターを使　　用してみるのではないかということが想像できるのですが、どのように使用すれば良いのかを詳しく教えて下さい。

２、フーリエ変換レンズを使い、観測する輝点の位置からどのようなことが分かるか。

この問題については全く分かりません。

３、以下の二つのフーリエ変換作用の違いを教えて下さい。フラウンホーファ回折の場合。レンズを使った場合。


どうぞ宜しくお願いします。

CaF2 · Accepted Answer

どうも。

　レンズのフーリエ変換作用という意味が、直観的にわかると、波動光学がわかったつもりになれますから、そうゆう意味でも重要な概念だと思いますので、回答してみます。

１）　＞周波雑音を取り除くためには

　はい。これは、ご想像のとおり、高カットフィルターを使います。

　たとえば、ビデオカメラのＣＣＤで、細かい柄のネクタイを撮影したとき、ＣＣＤの１画素分解能と、ネクタイの柄の周期が近くなると、「モアレ」と同様な見にくい色の縞が起きることは、ＴＶ番組などで、ご経験があると思います。

　これを避けるための手法として、レンズの分解能を、画素ピッチ程度のところで、急激に下げる必要がありますが、レンズの設計やピント調整でやることは、低域ロスが大きく実際上困難です。
　そこで、ＣＣＤ前に複屈折光学素子などを設置し、像を１周期分だけずらしたものと、ズレていない元像を重ね合わせることで、１周期付近の空間周波数成分だけを急激に落とすという手法が開発されました。これは、高周波数制限フィルターに相当します。

　また、２）の答の一部として、ご存知と思いますが、レンズによるフーリエ変換面では、高周波成分が大きく外側へ回折していますから、光軸中心付近だけ通すピンホールなどをフーリエ変換面に設置すれば、任意の低域周波数だけ通すことができます。これは、レーザビームや、ホログラフィーのスペックルなどの高次回折成分などを取り除き、品位のいい像を得る場合などに使われます。

２）＞フーリエ変換レンズを使い、観測する輝点の位置からわかること。

　レンズでフーリエ変換ができる・・・というと、私もそうでしたが、初学の方は、さぞや難しい事をやるんだろう！？と思ってビビってしまいます。
　しかし、わかってしまえば、実に素朴な話だと思います。

　レンズの焦点面の「役割」を、初等的な言葉で言えば
　・理想凸レンズに、同じ角度で入射した光は、焦点で同じ位置に到達する
　・したがって、焦点の同じ場所に来た光は、元々同じ進行方向であった
　・したがって、レンズ焦点での光分布を記録できれば、光の進行方向分布が検出ができる。
　ということす。

　この、光の進行方向角度と焦点位置での一義対応がフーリエ変換関係に相当する、と言っているわけです。
　
　なぜ角度がわかると、フーリエ変換になるかといいますと、これは３）のフラウンホーファ回折の話です。

　回折格子の回折干渉式で素朴に考えますと、

　　反射物体の構造周期の逆数をＲ（空間周波数）
　　光の入射角度をα
　　光の射出（回折）角度をθ
　　波長をλ
とすると

　ｓｉｎα＋ｓｉｎθ＝ｍλＲ（ｍは回折次数を表す整数）

になりますからｍ＝１、α、λは定数とし、ｃｏｓθ≒１とすると
θとＲの微小変化の関係は、微分関係より

　Δθ＝　ΔＲ・λ

　すなわち、細かい構造ほど、大きい角度回折するという直感にあった結果を示します。

　たとえば焦点距離ｆで、入射光の角度がθ、の時、焦点面での像高さＬがｆ×θであるようなレンズ（ｆθレンズと呼ばれる）を用いると、構造変化量ΔＲと、焦点面の位置差ΔＬの関係は

　ΔＬ＝ｆΔθ
　　　＝λｆΔＲ

のような関係になります。
実は凸レンズは近似的にはすべてｆθレンズですから、これはとても一般的な関係です。

　光の回折光の「量」まで考えた場合、フラウンフォーファー回折の式が必要になりますが、これは、反射物体の形状（構造周期の重ね合わせ）のフーリエ変換の形であらわされます。

　これが、レンズの焦点が、「物体の形状のフーリエ変換」を表すという意味です。

したがってフーリエ変換面での光量分布で分かることは、

　１）根本的には、光が入射前に進んでいた方向（レーザの場合は、モード、と呼んだりします）
　２）　１）により、光が反射してきた物体の、空間周波数構造
　３）　２）を光量分布まで吟味した場合、物体の構造自体（形状や表面粗さ）

といったものになります。

　光をＸ線にして、物体の構造を「結晶構造」とすれば、結晶の周期もわかるわけです（ブラッグ回折）。
Ｘ線の凸レンズというのは、とても高価で大変なものなので、通常は「十分遠くへ飛ばす」ことによって、角度θを位置Ｌに変換し、焦点を結んだことの代わりをするわけです。
　このように、凸レンズの焦点面を見ることと、「十分遠くへ飛ばす」ことが同義であることがわかれば、フーリエ変換することを、「遠方界（ファーフールド）」を見る、といったりする事の所以が直感できると思います。



＞　３）フラウンホーファ回折、レンズを使った場合のフーリエ変換の違い。 

　すみません、回答すべき問題のポイントがわからないです。(^_^;)
たぶんレンズを使わないでフーリエ回折を見た時と、そうでない時の違いという意味だと理解しますと・・・

　２）でちょっと述べたように、フラウンホーファ回折というのは、物体の回折光を、十分遠方（光が物体に当たった時のパターンが無視できる距離）で見たとき、散乱物体形状のフーリエ変換の形に、光の進行方向分布があらわされる（空間周波数が、回折角度と一義に対応する）ということです。
　その「十分遠方」という条件を実現するのにどうするか？ということですが

　・物体に当てた光のパターン（たとえばレーザビームの直径）が大きい時、散乱方向を物体の近くで測ると、光のパターンが大きいので、正確に測ることができません。ビーム直径より十分長い距離離れた遠くで、回折を測れば、正確に散乱角度や散乱強度が測れます。これが「遠方」という意味でして、ファーフィールドが「フーリエ変換」である、ということを意味します。

　・遠くに飛ばす以外に、１）に述べたように、レンズの焦点では、光の進行角度と、輝点の位置が一致しますから、これもフーリエ変換したことになります。これが「焦点面が無限遠に相当する」という言いかたの真意です。


こんな答で、問題のポイント合っていますか？？

ではでは。

noname#11476 · Answer

CaF2さんに満点です。

３番の問題は確かに意図がよくわかりませんね。
両者ともに「フーリエ変換作用する」という点では全く同一です。
異なる点は、レンズを使うことにより「有限の距離で」無限遠方に出来るフランフォーファ回折像を得られるという点が唯一の違いです。

では。

光学の問題。

どうも。

CaF2さんに満点です。

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