立方体に接する２辺のねじれ角度がわかりません

Question

説明が下手で、わかり辛かったらすみません。

左上から時計回りにA B C D - E F G H の立方体があるとして
辺ACのA方向の延長線上にa
辺GHのH方向の延長線上にh
とするとき、 a-A-H-h の 辺a-A と 辺 H-h は A-H を軸に考えると、ねじれている訳ですが、その計算方法が分かりません。
いろいろ調べてみたのですが、ここで質問させていただくことにしました。
よろしくお願いします。

jaspachate · Accepted Answer

なるほど、よくわかりました。
つまり、パイプを水平面に固定し、まず水平面内でa-A-GをA点で132.6度曲げ、次にA-Gを回転軸にしてaを65.1度持ち上げ、その角を固定したまま水平面内でA-G-hをG点で114.6度曲げるわけですね。「水平面」の代わりにそれと垂直な面内で行っても同じですね。
すると直方体ABCD-EFGHで考えると、a-A-Gの114.6度は対角面ADGF内にあり、A-G-hの132.6度は対角面ABGH内にあることになります。つまり、回転角65.1度はその二つの対角面ADGFとABGHの交差角度になり、回転軸AGをAの方向からGの方向へ向かってみたとき右回りに回転させるわけですね。
回転角65.1度を求めるには次のようにします。

A→aの方向へのベクトルAaとG→hへの方向ベクトルGhを考え、それらを回転軸AGと直交する面内に射影して、それぞれベクトルK、Lとする。すると cosθ = 内積[K・L] / (|K||L|) から回転角θが求まります。
ベクトルAa、Ghは結局それぞれ対角面ADGFとABGH内にあり、それらの射影ベクトルK、Lもそうです。ベクトルAaの代わりにベクトルDAを採り、点Dから対角線AGに垂線を降ろしてそれをベクトルKとします。また、ベクトルGhの代わりにベクトルHGをとり、点HからAGに垂線を降ろしてベクトルLとします。
そのようにできるのは、角度を求めるときにはベクトルの大きさ（長さ）はどのようなものでもよく、ただその方向だけが問題になるからです。そのためベクトルAaの大きさがわからなくとも、方向が同じであるベクトルDAを代わりにすることができるわけです。Gh、HGも同様です。

(1) K = DA + tAG として 内積[K・AG]=0 から t = -[DA・AG]/|AG|^2
(2) L = HG - sAG として 内積[L・AG]=0 から s = [HG・AG]/|AG|^2
(3) cosθ = [K・L]/(|K||L|)　(内積の定義[K・L]=|K||L|cosθ)

[DA・HG]=0 (互いに垂直だから) に注意すれば、(1)、(2)から
[K・L] = -s[DA・AG] + t[HG・AG] - st|AG|^2 
|K|^2 = |DA|^2 + t^2|AG|^2 + 2t[DA・AG]
|L|^2 = |HG|^2 + s^2|AG|^2 -2s[HG・AG]
s,tを代入して、
[K・L] = -[DA・AG][HG・AG]/|AG|^2
|K|^2 = |DA|^2 - [DA・AG]^2/|AG|^2
|L|^2 = |HG|^2 - [HG・AG]^2/|AG|^2

さて、直交座標系xyzを考え、原点を点Dにとり、x軸をH→D方向、y軸をD→C方向、z軸をD→A方向にとります。すると、
DA = (0,0,163)
HG = (0,100,0)
AG = (-146,100,-163)
となるので、
[DA・AG] = -163^2、[HG・AG] = 100^2、
|DA|^2 = 163^2、 |HG|^2 = 100^2
|AG|^2 = 146^2+100^2+163^2

これらから、
[K・L] = (163^2 100^2)/|AG|^2
|K|^2 = 163^2 - 163^4/|AG|^2 = 163^2(146^2+100^2)/|AG|^2
|L|^2 = 100^2 - 100^4/|AG|^2 = 100^2(146^2+163^2)/|AG|^2

cosθ = [K・L]/(|K||L|) 
= (163×100)/√((146^2+100^2)(146^2+163^2))
θ=65.11度

適当にななめから眺めた俯瞰図を描いて、特に上で述べた対角面を考えると良くお分かりになるものと思います。

蛇足ですが、132.6度と114.6度も直交座標系とベクトルを用いると簡単に求まります。
cos132.6度 = [DA・AG]/(|DA||AG|) = -163/√(146^2+100^2+163^2)
あるいは、
132度 = 180度 - ∠DAG = 180度 - Acos(|AD|/|AG|)
としても同じです。

cos114.6度 = [HG・(-AG)]/(|HG||AG|) = -100/√(146^2+100^2+163^2)
あるいは、
114.6度 = 180度 - ∠AGH = 180度 - Acos(|HG||AG|)

補足にある　ACOSの式は私には意味不明です。

jaspachate · Answer

お役に立てたのであれば幸いです。ベクトルの演算は比較的簡単で、それを使うと幾何図形が簡単に解けることが多いですから、これを機会に復習なされると役に立つものと思います。日本人は江戸時代の昔から幾何学好きで寺子屋で老若男女問わず学んでいたそうですし、数学は脳の基本機能と考えますので、年齢に関係なく楽しめるものと思います。

ところでNo.7の最後の文章が意味不明になっていたので訂正させていただきます。
＞直方体の俯瞰図をさまざまな角度で見たとき、No.6やこの別解で用いたベクトルはまた、それらに平行なさまざまなベクトルとみなすことができます...
正しくは、
No.6やこの別解で用いたベクトルはまた、それらに平行なさまざまなベクトルを直方体の俯瞰図の中に見出すことができます...

また、No.6の直交座標を用いた内積の計算を補足しますと、
V1=(x1,y1,z1)、V2=(x2,y2,z2)
内積[V1・V2] = x1x2 + y1y2 + z1z2
を用いています。
最後に外積について補足しますと、
外積の大きさ；|外積[V1×V2]| = |V1||V2|sinθ (θはV1,V2のなす角）
ですから、外積の大きさは、ベクトルV1,V2の作る平行四辺形の面積を表しています。外積の方向を知る必要なく大きさが欲しいときに応用できます。

jaspachate · Answer

別解です。
前の解答の後に書くつもりだったのですが、長くなったので二つに分けます。もし、ベクトルの外積の演算をご存知でしたら、この別解の方が簡単になります。
求める角度は２つの対角面ADGFとABGHの交差角なのですが、No.6の解答はそれぞれの面内で交差線AGに垂直なベクトルを求め、その二つのベクトルの間の角度を求めたものでした。それは同時にAa、GhをAGに垂直な面へ射影したベクトルを求め、その間の角を求めることと同等でした。

この別解では２つの対角面それぞれの法線ベクトル（面に垂直なベクトル）を求めて、その間の角度を求めるものです。法線ベクトルは外積を用いれば次のように簡単に求まります。

面ADGFの法線ベクトル = 外積[DA×DG]
面ABGHの法線ベクトル = 外積[HA×HG]
cosθ = 内積[[DA×DG]・[HA×HG]] / |[DA×DG]||[HA×HG]|

外積の定義は、
ベクトルV1 = (x1,y1,z1)、ベクトルV2 = (x2,y2,z2)
[V1×V2] = (y1z2-z1y2, z1x2-x1z2, x1y2-y1x2)
向きはV1,V2のある平面内で、V1方向からV2方向へ右ねじを回すように回転したときに右ねじが進む方向で、V1、V2それぞれに垂直です。

No.6の座標系を使うと、
DA = (0,0,163), DG = (-146,100,0)
HA = (146,0,163), HG = (0,100,0)
これらを用いて、
[DA×DG] = ( -163・100, -163・146, 0 )
[HA×HG] = ( -163・100, 0, 146・100 )
よって、
[DA×DG]・[HA×HG] = (163・100)^2
|[DA×DG]| = 163√(146^2+100^2)
|[HA×HG]| = 100√(146^2+163^2) 
となり、
cosθ = [DA×DG]・[HA×HG] / |[DA×DG]||[HA×HG]|
= (163・100)/√(146^2+100^2)√(146^2+163^2)
No.6と同じになることが確かめられました。

直方体の俯瞰図をさまざまな角度で見たとき、No.6やこの別解で用いたベクトルはまた、それらに平行なさまざまなベクトルとみなすことができますので、図を描いて確かめて見られると面白いと思います。

jaspachate · Answer

補足をありがとうございます。
パイプの曲げ方なのですね。スエージロックのチューブ曲げなどの経験があるので、おやりになりたいことは良くわかります。
しかしまだ与えるべき条件が不充分と見受けられます。
なぜなら、132.6度、114.6度という角度が出るには、AHは直方体の一つの面の上にはないことになります。AD、GHはそれぞれ直方体の辺であるわけですね？それならもしAHが直方体の一つの面上にあるなら、GHはそれと直交してしまい、114.6度にはなりません。
そこで、正確な条件を補足していただくために、次の量を示していただけないでしょうか？
１．直方体の面　ABCD の　各辺の長さ。AB=?、BC=? (AB=CD、BC=ADとする）
２．面ABCDの隣の面で、辺ADを共有する面は、面ADHEでしょうか？それともAD○○？　これによって、面ABCDと反対側の面の頂点の記号の位置関係がわかります。
３．その上でa,hそれぞれの定義は正しいですか？　というのはA-Hは直方体内部を通る対角線でなければならないはずで、そうしないとAHとADの成す角は132.6度になりません。そうなるようにすると114.6度になるGHというのがどこにあるかわからなくなります。
４．曲げ方ですが、いまひとつ曲げるときの基準点（曲げ点）と、回転するときの基準点（線）がどこにあるのか不明です。a-A-H-hの記号で結構ですので、例えば、直線状のa-A-H-hをまずA点で？度に曲げ、つぎにH-hがA-Hに対して？度になるように曲げる、曲げた後が、直方体のどこそこの辺に対応するようにする、などと説明して頂くとはっきりします。

もう一度、以上の条件を補足していただければ、正確なお答えができるものと思います。

jaspachate · Answer

＞底辺１００・高さ１６４・奥行き１４６の立方体の場合は、ねじれ角度はどうなりますでしょうか？
＞a-A-Hは47.4度・h-H-Aは65.4度であることは分かるのですが、a-Aとh-Hのねじれ角度は65.1度になるはずなのですが、

問題文の頂点の位置関係と合わないようですが、正しいのでしょうか？
もし、まず長方形ABCD(上から見てAから時計回り)を取り、それを下に平行移動して長方形EFGHを取るのであれば、Aの直下にあるのはE、BはF、CはG、DはHとなるはずです。それならば、面ADHEと辺GHは直交しているので、対角線AHとGHは直交しています。つまり、h-H-A(AHとHｈのなす角度)は９立方体、直方体によらず90度のはずですが？

AHを軸にしてそれが点に見えるような平面へ射影するのは、ねじれ角の定義とは違ってきます。どんな射影もせずに平行移動で考えなければなりません。線の方向（ベクトル）は平行移動で変わらないからです。射影すると変わってしまいます。特定分野で使われる特別な定義方法があるのならば別ですが、もしそうならその定義を述べてください。

一般的な定義からは直方体であろうと、どの辺や直線が平行であるかを考えれば簡単に求まります。
上で述べた問題文の頂点位置（と辺や線）の解釈が正しいのであれば、
(A-a と H-h のねじれ角) ＝ (ACとGHのねじれ角）
＝（ACとCDの交差角）＝　角ACD
つまり、GH-hはCDに平行なので、方向が同じですからCDとCA-aのなす角度を考えればよい、ということです。角ACDは面ABCD内にあり、辺と対角線の間の角度ですから２辺の長さから簡単に求められます。

以上、ここで直方体の頂点を問題文どおり正しく理解したかどうか、あるいは問題文に不備があるかどうか、補足してください。特に辺ACと書いてあるのが気になります。ACは辺ではなく、対角線のはずです。また、直方体であればどの辺がどの長さに対応するのかなどがちゃんと書いていない限り、答えは推測でしか出ません。

arrysthmia · Answer

それは、「直方体」だねぇ。
その、AH を一点として見る面へ、射影して考えればok。

↑Aa と ↑Hh の、↑AH に垂直な平面内の成分は、それぞれ、
u = ↑Aa - { (↑Aa・↑AH) / (↑AH・↑AH) } ↑AH と
v = ↑Hh - { (↑Hh・↑AH) / (↑AH・↑AH) } ↑AH。

u と v が成す角を θ とすると、
cosθ = { |u|^2 + |v|^2 - |u-v|^2 } / (2 |u| |v|)。

後は、代入して、整理して…

info22 · Answer

> ねじれている訳ですが、その計算方法が分かりません。
どの角度が分かればいいか をはっきりさせて下さい。

ベクトルAaとベクトルHhがなす角度は45°
ベクトルHAとベクトルHhがなす角度は90°
ベクトルAHとベクトルAaがなす角度は120°

あと、どの角を知りたいですか。

jaspachate · Answer

ねじれの角度は２直線のそれぞれの方向がなす角度です。そこでわかりやすいやり方では、２直線を平行移動して同じ面内で交わるようにすると、その交わりの角度がねじれの角度です。
問題文の条件を正しく読んだとすれば、A-aは対角線ACの延長上ですから対角線GEと平行です。H-hは辺GHの延長上にあり、GEとGHは点Gで交わり、面EFGHの上にありますから、その交わりの角度は４５度です。これがA-aとH-hのねじれの角度になります。

立方体に接する２辺のねじれ角度がわかりません

なるほど、よくわかりました。

お役に立てたのであれば幸いです。

別解です。

補足をありがとうございます。

この回答への補足

＞底辺１００・高さ１６４・奥行き１４６の立方体の場合は、ねじれ角度はどうなりますでしょうか？

この回答への補足

それは、「直方体」だねぇ。

> ねじれている訳ですが、その計算方法が分かりません。

この回答への補足

ねじれの角度は２直線のそれぞれの方向がなす角度です。

この回答への補足

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