流体から力受けて動く物体 （圧力、せん断力、抵抗）

質量mの立方体（縦横高さがそれぞれa）が定常流（流体は水）にあり、水の力で流れ方向に動いているとき、
物体（下図の四角）にはどんな力が働くのでしょうか？

→　　　　面3　　　→
→ 　面1　□　面2　→流速v
→　　　　面4　　　→

※流体は水、層流
※物体は流れの方向にのみ動くとします。
※流速vに対し、物体は速度uで動いているとします。

上記の条件で、運動方程式を立てたいと思っています。
働く力は・・・
・面1と面2に圧力
・面3と面4にせん断力（進行方向へ引張る力）
・あとは重力と浮力、これにより摩擦力が面3、4に発生？？
また流速によって粘性抵抗か慣性抵抗かが変わってくる。。？？

整理がついておりません。
どんな力が働きうるか教えてください。
宜しくお願いします。

No.1 回答者： pantarhei 回答日時： 2008/12/05 03:54

回答のレベルが分からないので、微分と物理に関してはきちんと分かっている大学1年生ぐらいで説明させていただきます。

>・面1と面2に圧力
>・面3と面4にせん断力（進行方向へ引張る力）
>・あとは重力と浮力、これにより摩擦力が全面に発生(この問題は運動方程式について理解されていないと難しいので今回は省きます。以下のことが理解できるようになったらまた訊いてください)
概ね合っていますが、勘違いしそうな部分があるので補足説明をすると以下のようになります。
基本的に面1が正圧、面2が不圧となっており、面2には、粘性による流れの「まわりこみ」が発生します。お風呂に水を張った状態で水に手を入れて一方方向に動かすと、手の進行方向とは逆側の面付近に(つまり図の面2)渦ができて手の進行方向とは逆側の面に向かって流れが回り込んでくるのが観察できると思います。
また、面2の不圧の原因としては、面1が流れに対して正圧(つまり密になる)となるので、それと同様に面2が不圧(つまり疎になる)となるということと、面3,4からはたらく剪断(せん断)応力と粘性によって流れが主流方向に「引っ張られる」ことがあげられます。

粘性抵抗や慣性抵抗については以上のことと、運動方程式について理解していないと理解が難しいのでこれも今回は省きます。
本題に移りまして、
x,yで与えられる2次元で考えたとき、物体がの質量が単位質量、単位体積で、大きさdx、dyの物体とし、粘性はなく、x方向(主流方向)の圧力勾配がdp/dxであるとすると、単位体積あたりの力のつりあい式(運動方程式)はx,yそれぞれの方向に対して以下のようになる
ρ・Du/Dt = ρ・Fx - dP/dx　　(1)
ρ・Dv/Dt = ρ・Fy - dP/dv　　(2)
Du/Dtは実質微分で、中身は以下のようになっている
{u(t+dt,x+dx,y+dy) - u(t,x,y)}/dt = Du/Dt(dt→0)
これ((1)、(2)式)は単位体積あたりの質量が密度であることを思い出すと
ma = F
となっていて、ニュートンの第二法則になっていることが分かる。
上記のように非粘性として表した流体の運動方程式を「オイラーの運動方程式」という
さらに補足説明的に少し難しい(使いやすい)形になおすと、ベクトル表記によってオイラーの運動方程式は
dV/dt + (V・grad)V = F - grad p/ρ　(V、Fはベクトル)
となる。ここでベクトルVはそれぞれの座標方向の速度
V=(u,v)
であり、Fはそれぞれの座標方向にはたらく力
F=(Fx,Fy)
である。

粘性を考慮した流体の運動方程式は、ナビエ・ストークスの運動方程式なので、粘性を考慮したものが勉強したくなったら、これを勉強してみてください。

参考になるようなページを探してみたので、分からなければ見てください
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4% …
http://www.eco.zaq.jp/env_univ/euler.html

この回答への補足

一通り復習をしました。その上で、再度質問させていただきます。

卓上の計算ではなく、実際のマイクロ流れ中の物体の運動について考えています（レイノルズ数100～500）。物体の速度が、形状や流体の粘性でどのように変化するかを、物体の運動をモデル化し、式に表す事で求めたいです。
パラメータは(1)与える流速、(2)流体の粘度、(3)物体の流れ方向の投影面積、(4)物体の流れと垂直方向の表面積、(5)物体の重さの五つです。これらを変えると実際に物体の速度は変化するのですが、それを統一的に式で表したいです。（低レイノルズで当然粘性を考慮します）

質問１：流体力学の教科書等を見ると「物体まわりの流れ」という章があり、抗力と揚力についての説明があります。
・物体と流体との間に相対速度があるときに抗力（及び揚力）が作用する。
・抗力はD=1/2CdρAU^2と表され、具体的には、摩擦抗力（圧力抗力）、形状抗力、誘導抗力、造波抗力、干渉抗力の五つに分類できる。
ここで質問なのですが、物体（実際の水の流れの中で運動する物体）の運動方程式を立てるときに、作用する力は「抗力」「揚力」だけで済むのでしょうか？
先の質問で登場した、
>・面1と面2に圧力
>・面3と面4にせん断力（進行方向へ引張る力）
>・あとは重力と浮力、これにより摩擦力が全面に発生
が抗力Ｄという一つの項に全て含まれるのかという疑問です。教科書では、流体の運動方程式（→連続の式やナビエストークスの式）の話になると、圧力やら粘性応力というのが出てきますが、これらをいろいろ考えた上で、「物体には抗力と揚力が作用する」と言っているのでしょうか？

質問２：また、力学では、速度に比例するのが粘性抵抗、速度の二乗に比例するのが慣性抵抗と習いますが（本対象ではどちらかが働いている可能性があるとして、両方を項に加えたいです）、「抗力Ｄ」は相対速度の二乗に比例しています。これはつまり慣性抵抗なのでしょうか？このあたりで混乱があります。

質問３：物体の重さについては、どのような力として扱い、運動方程式の項に加えればいいのでしょうか？

以上の疑問にぶちあたりました。宜しくお願いします。

補足日時：2008/12/16 02:11

この回答へのお礼

丁寧な回答誠に感謝いたします。
当方流体力学については一通り学んだことがあるのですが、基礎で忘れている部分がかなりありました。おかげ様で復習の取っ掛かりがつかめました。
実際に考えたいのは「粘性を考慮した流体中の物体の運動」であり、摩擦も考慮したいと考えています。
復習を終えた上で疑問が生じたらまた質問させてください。宜しくお願いします。

お礼日時：2008/12/11 16:58