背理法

背理法について質問です。「ある命題Ａを仮定して矛盾がでてきた」ときＡでないと結論できるのはなぜでしょうか？ まず問題の体系が無矛盾であることはどこで保証されるのでしょうか？（不完全性定理で無矛盾な体系ではその無矛盾性は証明できないというのを聞いたことがありますが…）さらにその体系が無矛盾だとわかっても「無矛盾な体系内で、仮定した命題から矛盾がでてきた」ことと「問題にしている体系が無矛盾である」ことの間にできた新たな（より高次な）矛盾に対して先ほどと同様の問題につきあたってしまうと思うのですが。（ つまり背理法で「Ａから矛盾ができた」→「Ａでない」が正しいことを保証するのに「Ａの体系の無矛盾」（←aとする）を言っても今度は「Ａによりその体系で矛盾がでてきた」ことはaに矛盾する→「Ａでない」としてしまうと→のところで検証してない背理法をつかってしまっていることになる）以上の疑問を解決したいので回答お願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： jaspachate 回答日時： 2009/01/03 17:18

検証するべき命題Aは、命題論理の公理系の中で真であるか偽であるかがわかっていない故に検証されます。

検証結果は「真」「偽」「決定不能」のいずれかであることが命題論理の要求するところです。「決定不能」があるのはゲーデルの不完全性定理によっています。それも含めると、結果は「真」であるか、「真ではない」かのいずれかになります。背理法はそのいずれかを導くための公理論理です。この規則に従う限り、命題Aが真であることを「仮定」して、その「仮定」と矛盾した結果になるのであれば、「仮定」したことが誤りであり、従って命題Aは少なくとも真ではない、と結論されます。
この背理法を否定するのであれば、背理法を用いない別の公理系をたてる必要があります。背理法の適用範囲をゆるくしたものや、無くしたような公理系は矛盾許容論理と呼ばれる論理系の中で試みられています。参考URLを参照してください。

質問者様のおっしゃる「QでありかつQでない」という矛盾が、論理系の公理そのものについて言える場合はその論理系の矛盾を証明したことになります。しかし、「仮定」の否定は「「仮定」ではない＝「仮定以外である」と証明したのであって、公理そのものの矛盾を導いたことにはなりません。

　

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9F%9B%E7%9B%BE% …

No.4 回答者： jaspachate 回答日時： 2008/12/27 01:47

背理法は命題論理の公理の一つです。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%91%BD%E9%A1%8C% …
第二不完全性定理が述べるのは、無矛盾な体系はそれ自身の無矛盾性を証明できない、です。その体系は命題論理に従っています。
背理法で導かれた矛盾は「Aなる命題が真」であるという仮定であり、実は真でなければ矛盾しない、という論理です。これは背理法を含む命題論理の「矛盾」を問題にしているのではなく、Aという命題の矛盾性のことであり、「体系」の矛盾ではありません。それを混同すると自己撞着に陥ります。

この回答への補足

Aという命題の矛盾性と「体系」の矛盾はどう違うのでしょうか？背理法ででる‘Ｑ’かつ‘Ｑでない’というのは体系の矛盾ではないのですか？

補足日時：2008/12/31 19:35

No.3 回答者： kabaokaba 回答日時： 2008/12/26 23:40

ゲーデルとかそういう問題じゃなくって，

背理法の本質は，
・排中律
もしくはそれと同値な
・二重否定の除去
です．
こいつらは命題論理の公理系に入ってて，
命題論理そのものは，無矛盾かつ完全だったはずです．
そして，ZFCなんかは
命題論理・述語論理の上に構築されてるわけです．

＃ゲーデルの不完全性定理は
＃ぶっちゃけていえば「数の構造」を入れると
＃発生するようなものです．
＃相手にする体系を変えれば
＃「ゲーデルの完全性定理」なんてのもありますな．

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2008/12/26 23:23

え～と, 「問題で考えている体系が無矛盾である」というのは, まあ普通は暗黙に仮定していますね.

で, それを前提として「体系 A は無矛盾だが A に命題 p を加えたら矛盾が生じる」ときに「体系 A において p の否定が成り立つ」というのは, (確認してませんが) 推論規則から出てくるはずです. 極端な場合は, これそのものを推論規則に入れてしまうものもあります.

No.1 回答者： mojitto 回答日時： 2008/12/26 20:28

例えば「AかBが必ず起こる」となれば、Aが起こっていないことを証明すれば、Bが起こったことが証明できます。

つまりAでなければBが必ず起こる保証がないなら背理法は使えないです。
（ある自然数について、奇数でないなら偶数）

例えば「AかBかCが必ず起こる」で、「Aが起こっていないからBが起こった」と言う結論は明らかにおかしいです。Bが起こったことを証明するなら「AとCが起こっていない」ことを証明する必要があります。
（ある自然数について、３の倍数を背理法で証明しようとしたら、3n-1、3n-2を証明して初めて3の倍数であることがわかる）

この回答への補足

早速の回答ありがとうございます。自分が疑問に思っているのは「Aでない→Ｂである」の部分ではなく「Aであると仮定したら矛盾した→Aでない」の部分です。

補足日時：2008/12/26 21:04