数II 三角関数

1)関数f(x)=3sin^2x+2sinxcosx-cos^2xの周期と、この関数の最大値を求めよ。
2)0≦θ＜2πのとき、不等式cosθ-(3√3*cosθ/2)+4＞0を満たすθの値を求めよ。


1)まず周期の求め方がわかりません…
cosをsinになおせばいいのかsinをcosになおせばいいのか因数分解すればいいのか…
cos^2xを1-sin^2xになおしたところでそこで手詰まりになってまったく求め方に検討もつきません…
2)こちらもcosθ/2を公式にならって変換したところ√がでてきてよくわからない式になりました;
(ちなみにcosθ/2=√{(1+cosθ)/2｝になりました…)

1と2は全く違う問題ですが同じ単元なため一緒に質問しました。。
どなたか教えてください<(_ _)>

No.1 ベストアンサー 回答者： owata-www 回答日時： 2009/01/14 17:41

1)

f(x)=3sin^2x+2sinxcosx-cos^2x
=(3-4cos^2x)+sin2x (sin2x=2sinxcosx)
=-2cos2x+5+sin2x (cos2x=2cos^2x-1)
あとは、三角関数の合成

2)
cosθ=2cos^2(θ/2)-1より二次方程式になります(cos(θ/2)の)


計算はご自分で確認をお願いします。

この回答へのお礼

1も2も解くことができました。
回答ありがとうございました!

お礼日時：2009/01/15 22:45

No.6 回答者： htms42 回答日時： 2009/01/15 08:40

＞f(x)＝{1＋sin（2x）-2cos（2x）}であるから、sin（2x）-2cos（2x）の周期（基本周期）を求めると良い。

ｓｉｎ(２ｘ)とｃｏｓ(２ｘ)は同じ周期です。
同じ周期の関数を２つ足しても周期は変わりません。
周期はπです。
合成の式を知らなくても出来ることです。

最大値を求めるためには合成の式が必要です。

この回答へのお礼

1も2も解くことができました。
回答ありがとうございました!

お礼日時：2009/01/15 22:46

No.5 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/01/14 21:56

＞転記ミスしてない？　それとも、私の計算ミスか？

予想通り（？）に、私の計算ミスでした。　というより、計算する前に気がつくべき　ｗ

No.4 回答者： owata-www 回答日時： 2009/01/14 19:32

＞＃３

三角関数の合成より
sin（2x）-2cos（2x）＝√5sin(2x+α)
で、
すべてのxに対して
√5sin(2x+α)＝√5sin{2(x+p)+α}
となるpを求めればいいわけです。よって、きれいな解になります。

この回答へのお礼

1も2も解くことができました。
回答ありがとうございました!

お礼日時：2009/01/15 22:46

No.3 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/01/14 19:13

誰も“周期”については答えないんだね。

ｗ

倍角の公式から、f(x)＝{1＋sin（2x）-2cos（2x）}であるから、sin（2x）-2cos（2x）の周期（基本周期）を求めると良い。
基本周期をpとすると、sin（2x）-2cos（2x）＝sin2（x＋p）-2cos2（x＋p）が全てのxについて恒等的に成立すると良い。

ここから、方針は2つあるが、試しに計算したら、pが綺麗な値にならない。
転記ミスしてない？　それとも、私の計算ミスか？

この回答へのお礼

1も2も解くことができました。
回答ありがとうございました!

お礼日時：2009/01/15 22:46

No.2 回答者： 33550336 回答日時： 2009/01/14 17:43

１）典型問題ですね。

２倍角の公式を逆に使い、cos2xとsin2xの式に直しましょう。

２）上と同様にcosθを半角の公式でcosθ/2に直せば解けると思います。

この回答へのお礼

1も2も解くことができました。
回答ありがとうございました!

お礼日時：2009/01/15 22:45