回帰係数が１かどうかの検定

Question

変数ｘが１増えると変数ｙも１増える、という仮説を検定した研究で、１に近い回帰係数が得られてｔ値も低い（例えば１未満）という結果から、この仮説は支持できるというのがありました。これって統計的に正しい推論なのでしょうか。通常だと、例えば係数が正という仮説を検定するために、係数ゼロという帰無仮説を立ててｔ値が２未満であれば帰無仮説を受容（対立仮説は棄却）し、そして結論を保留する、ということになりますね。ですから先の場合も現状ではなにも言えないということになると思うのですが、それでは係数が１という仮説はどのようにして検定すれば良いのでしょうか。あるいは帰無仮説はどのように立てるのが良いのでしょうか（一般的なのでしょうか）。

kgu-2 · Accepted Answer

>係数は1でない、というのが帰無仮説
　これは検定の方法がありません。係数が、1.0000なら同じでしょうが、1.0001は同じと判断するのかどうか。検定では、定めていません。差があることは主張できても、「差がない」「同じは」、検定する方法がありません。検定の限界です。
　なにより、1.0001でも、1.00000001でも、数学的には1ではありません。ですから、無理。
 
>回帰係数が１かどうかの検定
 検定は、「有意差有り」を示す、差があることを証明するのが目的です。回帰係数についても、2つの回帰係数の有意差検定の方法は、本にも記載されています。
　言い換えると、同じであることの証明は、難しい。「有意差は見られなかった」では、「あんたの検定法がダメ、私ならできる」と言われれば、反論できません。

>係数が１という仮説はどのようにして検定すれば良いのでしょうか
　すなわち、検定は「両者に差はない」という帰無仮説を否定して、「有意差有り」と結論を出します。「有意差は無い」という帰無仮説を否定する検定法は、無いハズ。
　同じであることを示す検定法があれば、統計学の革命です。同じことを示したいというのは、私も考えたことがありますが、現在の統計学的では、不可能と結論しました。

>係数が１という仮説が棄却できなかったからといって、それが正しいという積極的な主張にはならないのではないか、というのが質問の主旨です。
 これは、統計学的には「有意差はない」という結論に相当します。有意差無の裏返しで、同じという結論にはなりません。ご理解のように、間違いです。

>ｔ値も低い（例えば１未満）
 なんのかt値ですか、それにどのように算出されたのか。p値を間違えていませんか。まさか、r???。

　あとは、現実的に対処するしかありません。どうするかは、学生さんなら指導教員に相談すること。指導者がいないなら、状況などをアイデアを盗まれることを覚悟の上、書き込んで下さい。

quaestio · Answer

> 通常は係数がゼロである、
（中略）
> たいていの教科書にも、帰無仮説は棄却されて初めて意味があると書かれている思います。

これについてのあなたの認識は間違っておりません。
しかし、No.2の方もおっしゃっているように統計学は違いを見つけることは簡単なのですが同じであるこというのは難しいのです。
でもそれでは、使い物にならないのでType II Errorも勘案することで同じであること主張する方法があります。
つまり、ある一定の差をある確率で検出できるサンプルサイズを設定すること同じであることを示す方法があります。

これについては、
永田 靖, サンプルサイズの決め方, 朝倉書店(2003)
を参考にしてください。

quaestio · Answer

回帰係数が1であるという帰無仮説を立てるだけです。
検定方法は、回帰係数が0である場合を理解していればできるはずです。
おそらく、

> 変数ｘが１増えると変数ｙも１増える、という仮説を検定した研究で、１に近い回帰係数が得られてｔ値も低い（例えば１未満）という結果から、この仮説は支持できるというのがありました。

という研究もそういう検定を行っているのではないでしょうか？

回帰係数が１かどうかの検定

>係数は1でない、というのが帰無仮説

> 通常は係数がゼロである、

回帰係数が1であるという帰無仮説を立てるだけです。

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