傾斜でのボールの動き方

数学に乏しいのですが、カテゴリはあえて物理学にさせて頂きました

ゴルフのパター。グリーン上でのボールの動きについてです。
緩やかな左への傾斜があり、目も左に向かっている場合、当然ボールは左に曲がります。
その状態でホールに入れる場合は、右向きに調整をします。

この場合、どの程度の調整と、どの程度の力の強さで打つか。
この答え（ライン）はひとつしか無いと思うのですが、友人との話の中で、答えはひとつ以上ある。というのです。

右に5の角度調整をし、10の力で打つのがホールインするラインだと過程すると、友人は右に10の角度調整をし、力はわからないが、大きな弧を描ければホールインすると。

たとえばビー玉を角度をつけた机の上で転がすならまだしも、ゴルフのグリーン上でそれは不可能だと感じますが、納得のいく説明ができずに困っています。
話しをする度に、ラインはひとつ以上あるのかも。。。と思えてきてしまいます。
物理学上はどのような答えになるのでしょうか？

なかなかうまい説明すら出来ていませんが伝われば幸いです。

No.2 ベストアンサー 回答者： ichiro-hot 回答日時： 2009/03/03 09:22

●まず、摩擦を考えなくてよい場合、例えばキャッチボールを思い浮かべて・・・

キャッチャーが、ピッチャーに玉を戻すのに、
１）直球で投げてもいいし
・・・・・速いスピードでほぼ水平に
２）ゆっくりの玉でカーブを描くように投げてもいいし
・・・・・ちょっと遅めの速さで、少し上向きに
　水平から４５°までは上向きの角度が大きくなるほど遅い球で投げることになります。（空気抵抗無視ですよ）
３）フライで投げてもいいし
・・・・・４５°以上の角度で投げようとすると、今度はまた早く投げなければならなくなります。

　このように同じ距離を投げようと思っても、玉の速さと投げる水平角を考えれば、いろいろな投げ方が可能ですね。これは垂直の面の中で考えてますから、少し斜めの斜面に倒していくとゴルフと同じになってきます。
　実際には、ボールの空気抵抗と同じように芝生の癖や地面のでこぼこなんかの影響が有るから、その影響を考えなければなりませんが・・・・

この回答へのお礼

ありがとうございます！

やはりその芝生、路面状況等の抵抗値が私には引っかかります

ラインは一つ以上、というのが理解できそうで出来ません・・・・
抵抗値が一定以下である場合は、キャッチボールのような動きが出来、一定以上ある場合がゴルフのグリーン上であり、これにおいてはキャッチボールのような動きは出来ない。と考えていました。

なんだか赤っ恥の気が・・・・

お礼日時：2009/03/03 19:57

No.6 回答者： windsnow 回答日時： 2009/03/04 03:31

No.１です。

すでに見事に回答頂いているので蛇足ですが。

単純な左右傾斜、均一な芝（芝目も考えない）のグリーン上でも
感覚的にライン一本（角度と初速がただ一つ）しか無いと思われる
場合もあるとは思います。右に向けて打った際、最高到達距離
の出る、打ち出し角度４５°までは徐々に遅く打たなければなり
ませんが、芝の抵抗が大きいとボールの減速が著しく、その分を
考えて初速を増したとしてもショートしてしまうためにこれ以上
は角度を取れないところが有ると思います。

これは、テッシュペーパーを丸めたものをゴミ箱に投げ入れる場合
（キャッチボールも同じ）を想定すると、「結構思いっきり」投げ
ないと入らない距離があるのと似てます。この際、上向きに投げても
空気抵抗で前進が止まり、決して入らない角度の限界がある筈です。
この場合は初速と角度が、非常に狭い範囲に限られるワケですので
現実的に投げ入れ方はただ一つにしか見えないかもしれません。
ゴルフボールと芝の抵抗がこの関係に近い場合もあるでしょう。
ましてグリーン上のボールはポタッとは落ちてくれず止まったまま
になりますし。

他にはグリーンをツルッツルの平面、ボールは高精度の球面と考えた
状態から「芝を生やして」行った時を考えます。始めは理論上の曲線
通りに初速と角度さえ合ってれば９０°近くの角度で打ち出しても、
ながーい時間をかけて必ず戻ってきてカップインするでしょう。
しかし、ここに１ｍｍの芝を生やすとボールは途中で失速して戻って
こないかもしれません。これをだんだん伸ばしていくと．．と考える
と次第に初速と角度は限られていって極めて狭い範囲になるでしょう。

実際ではさらにＳ字のラインで入る場合とか、「山・谷越え」ライン
とかとなるので本当にただ一本しかないかもしれませんね。今回の
場合は、と言うことです。でもご友人のほうがどうやら正しいので
悔しい場合は黙っときましょう。(^_^；

この回答へのお礼

ありがとうございます！

赤っ恥でした・・・
とりあえず本気で討論してしまった事を詫びようと思います。
逆に私が皆さんに納得させられてしまいました。

おかげですっきりできました！

お礼日時：2009/03/04 19:07

No.5 回答者： jamf0421 回答日時： 2009/03/03 21:08

>日常会話的にこのモヤモヤをとるにはどうすれば・・・

質問者さんの問いかけの仕方にもう一つの問題が潜んでいると思います。ただの傾斜面ならば解は無数に存在し得るとして、ある特殊な曲面のグリーン上の特定のところからボールを打った時、ホールに入れるのにただ一つの初速度の解（打ち方）しかないという場合はないのか、ということではないでしょうか？

まずボールにスピンをかけてうつことはできず、ボールは初速度と摩擦力と重力とグリーンの傾斜だけに従って動くとします。

たとえば単純なマウンド（半球形など）の北側の中腹にボールが止まっていて、その頂点を挟んで丁度反対側（南側）の中腹にホールがあったとします。この場合は初速はマウンドの頂上に届きさえすればあとはまっすぐ転がってホールに行きます。（逆に初速度はそれ以上あっても構わない）この例で、その他の到達ルートの余地はあるでしょうか？個人的直感ではなさそうですね。一般的にどのようなときに解が一つかは数学者なら知っていることかも知れませんが...

この回答へのお礼

ありがとうございます！

jamf0421さんの言う問いかけもドンピシャです
しかもそれを答えだしてくれるとは・・・・
条件によっては必ず一つのライン（あくまで感覚として）だとは思っていました

半分すっきり出来ました！

お礼日時：2009/03/04 19:04

No.4 回答者： jamf0421 回答日時： 2009/03/03 18:13

解は無数にあることはすでに御指摘の通りです。

ビー玉でもゴルフでも同じです。ただ質問者さんは摩擦のある系については違うと考えられているようなので、そこで議論しないといけないようですね。
それでも摩擦の無い系から。
水平面に対してθだけ傾いた板の上に球を置きその球が初速度(Vx, Vy）で打ったとします。出発点は原点とし、ｙ軸方向に傾きがあり、x軸は傾きがないものとします。目指す場所の座標は(Xe, Ye)とします。x軸方向とy軸方向の運動方程式は(両辺にかかっていた質量mで割ったあとの形では）
d^2x/dt^2=0...(1)
d^2y/dt^2=-gcosθ...(2)
です。y軸方向にはmgcosθで下向きの力がかかっているのです。これらを積分すれば
dx/dt=C1...(3)
dy/dt=-gcosθt+C2...(4)
ですが、打ち出しの初速度は(Vx, Vy)としましたので、
C1=Vx...(5)
C2=Vy...(6)
と置けます。
(5),(6)を(3),(4)に代入してまた積分すれば、
x=Vxt...(7)
y=-(1/2)gcosθt^2+Vyt...(8)
になります。出発点を原点としたので(7),(8)の積分定数はゼロになります。(7),(8)からtを消去すれば球が通る経路の式になります。
y=-(1/2)gcosθ(1/Vx)^2x^2+(Vy/Vx)x...(9)
これが目的地（Xe, Ye)を通るときの(Vx,Vy)の制約を求めればよいわけです。(9)のx, yにXe, Yeを代入してVyとVxについての関数と見立てると、
Vy=(Ye/Xe)Vx+Xe(1/2)gcosθ(1/Vx)...(10)
となります。Vy=AVx+B/Vx(A=Ye/Xe, B=Xe(1/2)gcosθ)の形をしています。(Ye, Xe)に届かせるための初速度(Vx, Vy)としては、この曲線上の任意の点が選べることがわかります。
摩擦力があったとします。この時その力は速度にkをかけた数で速度と逆向きとします。今度は球の質量mを両辺から消せませんで、(1),(2)の代わりに次の式となります。
m(d^2x/dt^2)=-kdx/dy...(11)
m(d^2y/dt^2)=-mgcosθ-kdy/dt...(12)
k/m=wと書くことにし、xの時間での一回微分をx'、二回微分をx"などと書くことにすれば
x"=-wx'...(11)'
y"=-gcosθ-wy'...(12)'
となります。初速度を(Vx,Vy)の条件のもとで、(11)', (12)'の積分を行うと
x'=-wx+Vx...(13)
y'=-gcosθt-wy+Vy...(14)
となります。球を原点(0,0)から打たれたとして、また積分すると
x=(-Vx/x)e^(-wt)+Vx/w...(15)
y=(-Vy/w-(g/w^2)cosθ)e^(-wt)-(g/w)cosθt+Vy/w+(g/w^2)cosθ...(16)
(15)式を強引にtについて解くと、
e^(-wt)=(Vx/w-x)/(Vx/w)...(17)
t=(-1/w)ln{(Vx/w-x)/(Vx/w)}...(17)'
となります。これらを(16)に入れればtが消去できますが、記述の便宜上Vx/w=A, Vy/w=B, gcosθ/w^2=Cと書きます。すると、
y=(-B-C)(A-x)/A+Cln{(A-x)/A}+B+C
=(B+C)(x/A-1+1)+Cln(1-x/A)
=(B+C)(x/A)+Cln(1-x/A)...(18)
すなわちこれが経路の曲線でxとyにXeとYeを代入した式
Ye=(B+C)(Xe/A)+Cln(1-Xe/A)...(19)
の関係を満たすA(=Vx/w)とB(=Vy/w)の組み合わせであれば、球は(Xe,Ye)にいたることになります。(10)ほど簡単でないですが、無数にあることになります。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

長文まで書いて頂いて申し訳ないですが、これは難しい・・・・！
仰る通り、摩擦がある場合においては解が一つだと　直感で思っていました。
数式でここまで出せる以上、摩擦がある場合は少なくなるが一つ以上は現実的に可能。ということですよね。

日常会話的にこのモヤモヤをとるにはどうすれば・・・

お礼日時：2009/03/03 20:11

No.3 回答者： tokyomac 回答日時： 2009/03/03 16:22

この答えに近いものが有ったように記憶しています。

「週刊ゴルフダイジェスト」の大槻教授のページです。何号だったかは忘れましたが、今年になってからのものだった様な気がします。

あと、大槻教授はブログを書いていますので、直接質問すれば答えてくれるかもしれません。
http://ohtsuki-yoshihiko.cocolog-nifty.com/golf_ …

この回答へのお礼

ありがとうございます

マルチにならないようにします！

お礼日時：2009/03/03 20:07

No.1 回答者： windsnow 回答日時： 2009/03/03 02:10

ご友人の言う通り、カップインするラインは言ってみれば無限にあると

思います。

ゴミ箱にゴミを投げ入れる時、低めに早く投げても高めに放り投げても
入るときは入ります。これと同じで、例えば極端に４５°左下がりで
前後に傾斜はなく、自分（ボール位置）から目の前数メートルにカップ
があるとします。この場合、角度をあまりつけずに速く転がして入れる
ことも、大きく、右にゆるく打って弧を描いて入れることも出来るハズ
です。
前者の限界は速すぎてカップに弾かれる速度、後者はグリーンの摩擦で
途中で止まってしまう速度が限界です。この間であればラインはいくら
もある、ということになります。
物理的な説明となると、まず放物運動が基本で、これに傾斜での
重力成分や芝の摩擦を加味したものになると思いますが、複雑すぎて
私には式が立てられません。(^^)ゞ　

この回答へのお礼

ありがとうございます


正直、驚愕です・・・・
私のほうが間違っていたのですね・・・・

ありがとうございます！

お礼日時：2009/03/03 19:45