空気抵抗のある水平投射

下の問題の解き方を教えてください！
水平投射なので水平方向は等速直線運動、鉛直方向は自由落下というのはわかるんですが、空気抵抗がどのように加わるのかいまいち理解ができません。どなたか教えてください。

速度に比例する空気抵抗(比例定数a)がある場合を考える。物体を水平方向に初速度V0(m/s)で放出した場合について、水平方向と垂直方向の運動方程式をたて、時間tの関数として水平方向の速度Vh(t)と垂直方向の速度Vi(t)を求めよ。重力加速度はg(m/s^2)とする。

質問者からの補足コメント

• さっそくの解答、ありがとうございます！
  
  Y方向の方程式なのですが、mgとa(dy/dt)は
  反対方向の力だと思うのですが、なぜ両方に『-』がつくのでしょうか。それとV0は使わないのでしょうか。(もしとんちんかんな質問をしていたらすみません。)

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/05/02 13:44

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2017/05/02 14:17

水平方向と鉛直方向に分けて議論します。

3次元的にはそのベクトル合成です。

（１）水平方向（初速度の方向を正とします）

空気の抵抗がなければ水平方向は「等速」運動ですが、空気の抵抗があればだんだん減速します。減速するほど、それに比例して空気抵抗は小さくなります。

（空気抵抗がない場合）
・加速度 ah = 0
　運動方程式は、物体の質量を m として
　　0 = m*ah = m*dVh/dt
・Vh(t) = V0 （初速度一定）

（空気抵抗がある場合）加速度を a と書くので、空気抵抗の比例定数は k (>0) と書きます。
・空気の抵抗力 = -kVh(t)　 ←抵抗力は速度に比例して、速度と逆向き。
　従って、加速度を ah とすると、運動方程式は
　　-kVh(t) = m*ah = m*dVh/dt
→　dVh/dt = - (k/m)Vh
・従って、速度は、この微分方程式を解いて
　　Vh(t) = V0 * e^[ -(k/m)t ]　　　　　　①

（２）鉛直方向（下向きを正とします）

空気の抵抗がなければ鉛直方向は「等加速度」運動ですが、空気の抵抗があると「加速する力」が小さくなります。ただし、重力の方が優るので、鉛直下方向に加速度運動することには変わりません。

（空気抵抗がない場合）
・加速度 ai = g
　運動方程式は、物体の質量を m として
　　mg = m*ai = m*dVi/dt
→　dVi/dt = g
・Vi(t) = g*t

（空気抵抗がある場合）加速度を a と書くので、空気抵抗の比例定数は k (>0) と書きます。
・空気の抵抗力 = -kVi(t)　 ←抵抗力は速度に比例して、速度と逆の上向き。
　従って、加速度を ai とすると、運動方程式は
　　mg - kVi(t) = m*ai = m*dVi/dt
　　dVi/dt = g - (k/m)Vi　　　　②

・従って、速度は、この微分方程式を解けばよいです。
　この形の部分方程式をどのように解くかはテキストなどを見てもらうとして、①の形の解を
　　Vi(t) = C(t) * e^[ -(k/m)t ]　　③
として②の方程式に代入し
　　(dC/dt) * e^[ -(k/m)t ] - (k/m) * C(t) * e^[ -(k/m)t ] = g - (k/m) * C(t) * e^[ -(k/m)t ]
→　dC/dt = g * e^[ (k/m)t ]
→　C(t) = (mg/k) * e^[ (k/m)t ] + C1
　これを③に代入して、t=0 で Vi=0 の初期条件なので
　　C1 = - mg/k
となって
　　Vi(t) = (mg/k){1 - e^[ -(k/m)t ] }　　　④

①と④が求める答です。（計算間違いしていなければ）
座標軸の正方向の取り方、比例定数 k の正負の取り方などによって、式の形は少し変わります。

この回答へのお礼

丁寧な解答ありがとうございます！
自分の思ってたより複雑な答えで驚いてます…
またわからないことがでてきたら質問させていただきます！

お礼日時：2017/05/03 21:30

No.2 回答者： ナッキーナッキー 回答日時： 2017/05/02 14:11

y軸を鉛直上向きを正方向としたので、mgには「－」がつきます(^^)

また dy/dt はy方向の速度成分ですから、つまりvy ですね・・・これとは逆向きに空気抵抗が加わるので「－」がつきます(^o^)
つまり、dy/dt ＞0 （つまり、上向きに運動）ならば、空気抵抗は鉛直下向きですから、当然－a・dy/dt ですね・・・
・・・dy/dt＜0 （つまり、下向きに運動）ならば、空気抵抗は鉛直上向きですから、やっぱり－a・dy/dtですね（dy/dt＜０ですから、－a・dy/dt＞０ですね)
それから、V0 は式を解いた後に、初期条件として適用されることになります(^^)

また、疑問点がありましたら、質問をお願いします(^^v)

この回答へのお礼

どちらを正の方向とするかで変わるということですね！
理解できました！ありがとうございました！

お礼日時：2017/05/03 21:30

No.1 回答者： ナッキーナッキー 回答日時： 2017/05/02 12:39

x方向(水平方向）とy方向（鉛直方向）に分けて運動方程式を書きます(^^)

・・・微分は使っていいんですよね(・・?)
x方向:m(d^2x/dt^2)=－a(dx/dt)
y方向:m(d^2y/dt^2)=－mg－a(dy/dt)
この２式を解けば、解が得られます(^^)
だたし、空気抵抗は －av v:速度ベクトル　として扱っていますので、「比例定数a」は正の実数としました。

ちなみに、空気抵抗F は
F=－av=－a(vx,xy) = (－avx,－avy) v:速度ベクトル　(vx,vy):速度ベクトルの成分表示
となりますので、ｘ、ｙ方向それぞれ分けて計算すればいいんですね(^^)

方程式の解き方で詰まったら、また知らせて下さいね(^^)