水中での自由落下

空気中で大きな鉄球と小さな鉄球を同じ高さから同時に自由落下させると、二つの鉄球はほぼ同時に地面に到着します。
この二つの鉄球を海面から同時に自由落下させると、大きな鉄球の方が先に海底に到達する。

という話を聞いたのですが、理由がわかりません。
浮力を考えれば、体積の大きい「大きな鉄球」の方が大きいですし、粘性抵抗を考えると、これまた半径の大きい「大きな鉄球」の方が大きいと考え、小さな鉄球の方が先に海底に着くと考えたのですが・・。

何故大きい鉄球のほうが先に海底に着くのか、ご指導よろしくお願いします。

No.5 回答者： shinkun0114 回答日時： 2005/06/07 23:35

#3です。

＞空気中だと質量に関係なく（空気抵抗等を考慮しないと）、
＞初速0、加速度9.8/ssで同時に地面に着くんですよね・・？

　質問者さんも、ちゃんと9.8m/sec^2と重力加速度を書いてますよね？
　この重力は質量に比例します。
そこで、重力加速度しか考えないときは、質量は考慮しなくても
答えは同じです。

　しかし、空気抵抗や粘性抵抗は、質量に比例しません。
「質量に比例する力」と「質量に比例しない力」により、
加速度が決まる場合は、ちゃんと質量も考えないと、
答が求まりませんよ＾＾

＞空気中でも重力が速度に影響を与え、質量の違う物体が
＞同時に地面に着くことはないと思うのですが・・。

　一般に空気抵抗は、水中の抵抗よりはるかに小さいので
そう感じますが、実際は空気中でも影響があるんです。
ただし、その影響が微少なので、日常的には感じにくい、
というだけです。
空気中でも微粒子の落下速度などは、ちゃんと空気抵抗の
影響を受けて落下速度は変化しますよ。

No.4 回答者： sinobu_wednesday 回答日時： 2005/06/07 23:18

> 空気中だと質量に関係なく（空気抵抗等を考慮しないと）、初速0、加速度9.8/ssで同時に地面に着くんですよね・・？

空気中だと質量に関係なく、というところが誤解の原因だと思います。空気抵抗を仮に無視すると、質量が一見関係なく見えるのは、F=maという運動方程式の両辺に質量がある（左辺のFは、重力なので9.8m）ため、mを両辺から除すと、a=9.8m/s^2という重力加速度が出てきて、重いものも軽いものも同じ加速度で地球に惹かれるという結果が出てきます。しかし、これはあくまで抵抗がない場合ということに注目しなくてはいけません。

ここで粘性抵抗Rを考慮すると、運動方程式は

9.8m-R=ma

よって、加速度aは

a=(9.8m-R)/m=9.8-R/m

となります。大きい方の鉄球の直径を10倍とすると、重さは1000倍となりますから、大きい方の鉄球にかかる粘性抵抗を10R（#3の方の回答にある通り、粘性抵抗は直径に比例するので10倍になります）、質量は1000mとなりますので、運動方程式は

9.8*1000m-10R=1000ma'

加速度a'は、

a'=(9800m-10R)/1000m=9.8-R/100m

つまり、大きい玉の加速度a'は、aより大きくなります。

運動方程式の粘性抵抗に関する項が、大きい玉の方がより小さいため、加速度は大きい玉の方が大きくなる（粘性抵抗の項は重力を打ち消す方向だから）という訳ですね。

No.3 回答者： shinkun0114 回答日時： 2005/06/07 21:42

　大きい・小さいだけで考えると混乱しますよ^^;

　水中でもそうですが、空気抵抗を考えれば、やはり
大きな玉の方が早く落ちます。

　まず、落ちようとする力重力を考えましょう。
重力は、当たり前ですが、質量に比例します。
密度が同じなら、質量は体積に比例します。
体積は直径の３乗に比例します。すなわち、
　★重力は直径の３乗に比例する★
ということになります。

　では、浮力はどうでしょうか？
　浮力は体積に比例します。つまり重力と同じです。
しかし、水の密度が１であるのに対し、
鉄の密度は８近くあります。
したがって、重力は浮力の８倍近く作用し、
結果重力が勝ります。
　次に粘性抵抗ですが、ストークス近似に寄れば、
粘性抵抗は、速度と直径に比例します。

　となればどうでしょう？
　直径が１の小鉄球と、直径が10の大鉄球を比べた場合、
重力は浮力を差し引いても、大鉄球は小鉄球の1000倍が
作用することになります。
　ところが粘性抵抗は、10倍にしかなりません。

　直径が大きい方が粘性抵抗も浮力も大きくなるものの、
それ以上に重力が大きくなるのです。

この回答への補足

空気中だと質量に関係なく（空気抵抗等を考慮しないと）、初速0、加速度9.8/ssで同時に地面に着くんですよね・・？
水中だと、何故重力を考慮する必要があるのでしょう？
浮力や粘性抵抗を考慮しなければ、水中でも同時に海底に着くと思うのですが・・・。

補足日時：2005/06/07 21:57

この回答へのお礼

すいません、追加です。
重力が速度に影響を与えるのであれば、空気中でも重力が速度に影響を与え、質量の違う物体が同時に地面に着くことはないと思うのですが・・。
水中だと何故質量が速度に影響を与えるのでしょうか・・？

お礼日時：2005/06/07 22:08

No.2 回答者： SCNK 回答日時： 2005/06/07 21:39

抵抗力があるときは重いほうが到達速度は大きくなります。

重さが同じならば、大きい方が抗力は大きくなります。

小さな方が、粘性のため抗力係数は大きくなります。

比重が同じなら、大きな方が浮力は大きくなります。

これらが相互に関連しているので、結論はそれらをすべて勘案しなければ結論はでません。

No.1 回答者： g_g 回答日時： 2005/06/07 21:26

へー、そうなんですか。

初めて知りました。
で、理由を考えてみましたが、
おそらく、水中を落下する際に、球の後方にに渦が出来ると思います。この渦は抵抗になり、球の速度を低下させると考えられます。
小さい（軽い）球の方がこの渦の力の影響を受けやすく、速度が落ちてしまうのだと思います。

そう考えると、空気中でボールを投げる時にも、硬式野球ボールを投げると速いですが、中空のゴムボールだと一気に速度が減速して遅くなりますよね。
それと同じ原理の様な気がします。