No.6ベストアンサー
- 回答日時:
「どんな2つのベクトルa、bにも必ず垂直になるベクトルの求め方」を、求めてみます。
2つのベクトルの関係なのでベクトルp、qに対して
(p×q)
という謎の量を考えます。
まずベクトルなので成分に分けます。
a=Σα_i e_i
b=Σβ_i e_i
(e_iが基底でα_i、β_i がその係数。)
どんなベクトルでも成り立つような求め方でなくてはいけないので、
(a×b)=ΣΣα_iβ_j(e_i×e_j)・・・(★)
とできていてくれれば、どんな組み合わせのときも簡単に計算できます。
せっかくなので、こういう(p×q)があると仮定します。
基底e_i,e_jが垂直なときは3次元の場合は垂直な向きは1つしかありません。
(e_x ×e_y)= ±e_z ・・・(1)
などなど。基底e_i,e_jが同じ向きの場合つまり(e_i × e_i)は
不定になってしまいますが
(e_i ×(e_i+e_j))= (e_i × e_i)+(e_i × e_j)
というような場合、e_zの向きに向いていて欲しいので、
(e_i × e_i)=0 ・・・(2)
が望ましいです。そこでそういうものだとします。
さらに
0=((e_i+e_j) × (e_i+e_j) )
は(e_i × e_i)=0という条件をつかうと、
0=(e_j× e_i)+(e_i× e_j)
が残ってしまいます。そこで、
(e_j× e_i)=-(e_i× e_j) ・・・(3)
としましょう。
(1)で±のぶん自由度があるように見えますが、
e_yをe_zまで連続的に回転させたとき、右辺も連続的に回転します。
このときに符号が食い違っていたらだめです。・・・(4)
こういう条件を満たすようにするための組み合わせは
(i,j,k)=(x,y,z),(y,z,x),(z,x,y)で
(e_i ×e_j)= e_k
か
(e_i ×e_j)= -e_k
しかないことがわかります(って本当か?)。
これで、性質が出揃いました。
改めて、(★)を計算すると(3)から
(e_y ×e_x)=-(e_x ×e_y)=-±e_z
などであることに注意すると、ご存知のたすき掛けが導出されます。
つまり、各基底の間の関係を都合の良いように決めて、
かつ、線型性を仮定すると導かれる性質だということです。
No.7
- 回答日時:
高校生の方と考え、一番分かりやすいように身近な面積から出発します。
簡単なので以下の手順で求めて下さい。
1.平行四辺形OACBを描きます。
2.注;ベクトルの矢印は省略します!!
OA=a=(ax,ay,az),OB=b=(bx,by,bz)
とします。
3.平行四辺形の面積Sは
S=√[|a|^2|b|^2-(a・b)^2]で計算します。
4.展開してまとめます。
|a|^2|b|^2-(a・b)^2
=(aybz-azby)^2+(azbx-axbz)^2
+(axby-aybx)^2
5.S=√[(aybz-azby)^2+(azbx-axbz)^2
+(axby-aybx)^2]
=|(aybz-azby,azbx-axbz,axby-aybx)|
6.ここで、この成分を持つベクトルを外積として
a×b
と定義します。
7.するとS=|a×b|となります。
ここまでで、外積の大きさが平行四辺形の面積に等しい事は分かったと思います。
次に、a×bがどんなベクトルなのか調べます。
8.a・(a×b)=ax(aybz-azby)+ay(azbx-axbz)
+az(axby-aybx)
=0
9.同様に計算するとb・(a×b)=0である事が分かりま す。
10.a≠0,b≠0 また aとbは平行でないからa×b≠0
よって, a⊥a×b かつ b⊥a×b
つまり、これでa×bはa,bに垂直なベクトルである事が理解頂けたと思います。
最後に、a×bの向きがa→bへ回して右ねじの進む方向である事を簡単に、調べます。x軸→y軸に回した時右ねじの進む向きをz軸とします。例えば
a=(1,0,0),b=(0,1,0)としますと
a×b=(aybz-azby,azbx-axbz,axby-aybx)
=(0・0-0・1,0・0-1・0,1・1-0・0)
=(0,0,1)
となってz軸の向きを向いている事が判明しましたね。
No.5
- 回答日時:
一度は自分で計算した方がいいでしょう。
基本的にはNo 3のwatapenさんの方法で証明します。
ただし、外積で得られるベクトルは大きさ自体は意味がなく向きだけが必要なので、
c=(α,β,γ) => (α/γ,β/γ,1)=(K、L、1)・・・($)
としておきましょう。
すると、watapenさんの定義したベクトルa、bとの内積を取ると、
a・c => Kx1 + Ly1 + z1 =0 ・・・(*)
b・c => Kx2 + Ly2 + z2 =0 ・・・(#)
(*)× y2 - (#)× y1 からKが、
(*)× x2 - (#)× x1 からLが求められます。
KとLの分母は共通になっているはずです(x1y2 - y1x2)。
これらを($)に代入し、分数は見づらいのでベクトル全体に(x1y2 - y1x2)をかけると、ベクトルaとbに垂直なベクトルcが得られます。
このとき注意してみると、ベクトルcの各成分には規則性があることがわかります。
例えばベクトルcのz成分には、ベクトルa、bのz成分が含まれず、各ベクトルのx成分とy成分がそれぞれ掛けられて(x1y2とy1x2)、それらの差が取られています(x1y2 - y1x2)。
実際はどうか知りませんが、この成分の規則性を考慮して、たすきがけが考案されたのではないでしょうか。
No.4
- 回答日時:
図形で考えたら…、外積a×bとは、
1. 長さが、aとbが張る平行四辺形の面積と等しく、
2. 向きが、aからbへの回転(<180°)で右ねじが進む向き
(aとbの両方に垂直)
のベクトルです。
行列式、ご存知ですか?
その各「たすきがけ」は、行列式になってます。
外積の長さは…平行四辺形の面積で、
行列式を図形で考えると…、
ヒントでした。
…自信なしです。
No.3
- 回答日時:
なんかすっきりしない定義ですね?
ってその定義はだめでしょう?
普通は
a × b = |a||b|sinθ
などと高校ではやるんではないんですかね?
図形的意味はa,bのベクトルできる平行四辺形の面積なんですが。
証明っていう意味では
たすきがけで得られるベクトルと
aとbそれぞれ内積とったら0ですよってやればいいのでは?
またなんで?っていうときは
その証明の逆をやっていくとよいのでは?
ベクトルの長さを気にしないのであれば
a=(x1,y1,z1)
b=(x2,y2,z2)
c=(α,β,γ)とおいて
a,bとcのナイセキをとります。
同時に満たすcの解が外積でもとまるベクトルと平行になるのですが...
No.2
- 回答日時:
外積の定義としてどのようなものをつかってますか?
今は高校でも外積ってならうものなのですか?
私の時代はまだまだ受験テクニックでしたが...
この回答への補足
ほとんど、定義など習っていません。
aとbのベクトルがあり、両方に垂直なcを求めなさいというときに、たすきがけを使い、求めなさいと言われました。
この「aとbのベクトルがあり、両方に垂直なc」をa×b=cと表し、外積と言います。と習いました。
だから、垂直とかっていうキーワードが出てきたら、外積を使うという感覚です。もちろん、図もみました。
空間ベクトルでいうとx,y,zのx×y=z と言うことですよね。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 物理学 面積速度一定の法則を(1/2)r v sinθを使って証明する方法 2 2023/06/25 12:43
- 数学 場合の数・確率 02 クジ引き 6 2023/06/09 12:09
- その他(資産運用・投資) 楽天証券について教えてください。 現在、楽天証券で積立nisaをしております。 ある月から積立nis 2 2022/06/02 21:28
- 数学 原始関数の存在性の証明について 数学科の3回生です。院試の勉強でつまづいたので助けてほしいです。 R 6 2022/11/13 19:19
- その他(プログラミング・Web制作) 3Dモデルにおける法線の計算について(Python,OpenGL) 1 2023/04/25 23:46
- その他(資産運用・投資) 【投資について】 無知で細かい事がわからない為、 検討外れなことを言ってるかもしれないですが、 ご存 8 2022/05/02 08:58
- 日本語 【「名詞+的」で「形容動詞」?】その3 4 2023/02/23 20:09
- 中学校 比の文章題 2 2022/08/28 02:49
- 数学 数学(積分) この問題を面積公式を使わない解法を教えて頂きたいです 2 2023/04/06 16:09
- その他(資産運用・投資) 積み立てNISAで、一部を売却したら非課税枠は翌年には40万円に戻りますか? 1 2022/06/06 17:35
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
2つに直交する単位ベクトル
-
「ノルム、絶対値、長さ」の違...
-
微積分の記号δ、d、Δ、∂の違い
-
平面の交線の方程式
-
n次元ベクトルの外積の定義
-
線形代数 直交するベクトル
-
ナブラ ラプラシアン
-
det(A)≠0 の必要十分条件を教え...
-
行列とベクトルの表記の仕方に...
-
両方に垂直な単位ベクトルを求...
-
一次従属の問題
-
座標系の奥(手前)方向の書き方
-
正規直交基底であることの確認
-
一次独立だけど、基底にならな...
-
「任意」ってどういう意味?
-
数学B P=Sa+tb+ucを利用した問題
-
ベクトルAとBに垂直なベクト...
-
縦ベクトルと横ベクトルの違い...
-
行列式が1とはどういう意味です...
-
常に一次従属?
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
おすすめ情報