波動方程式の起源について教えて下さい。

量子力学のシュレティンガー方程式や流体力学の波動方程式などでは
波を記述する方程式として当たり前のように二階微分の式が現れますが、
波を記述するためにこのような式で表されるというのに、導出や証明はあるのでしょうか？
いくつか書籍を見てみたのですが、当たり前のように出てきていて、なぜこのような式で表されるのかについて言及してある本が見つかりませんでした。
どなたか解説してある書籍などありましたら教えて下さい。

No.1 回答者： kentaurino 回答日時： 2009/04/03 23:20

J.J. サクライ「現代の量子力学」とか読んでみたら

No.2 回答者： ichiro-hot 回答日時： 2009/04/03 23:58

●量子力学関係では

　『岩波講座　現代物理学の基礎　３　量子力学　I　』
　（湯川秀樹・井上健・豊田利行監修；1972.4.12発行）
　この『第2章　物質波の理論と波動力学』が圧巻。
　ド・ブロイ，シュレーディンガーの主要論文の要点を元に非常に丁寧に解説してある。量子力学発展史の解説としても優れていると思う。
　大学の図書館等なら置いてあるかもしれない。湯川秀樹の没後（？　だったと思う。）に発行された同シリーズ増刷版では、『量子力学III』が削除されたといういわくつき？
（流体力学は門外漢でわからない。）

No.3 ベストアンサー 回答者： lycaon 回答日時： 2009/04/04 06:07

波動を起こす媒質の各要素(質量M)が互いにばね定数Kのばねで結ばれているモデルを考える。

一つの要素が平衡位置からｕずれているとき、（図は縦波）

M・∂ｕ^2/∂τ^2＝K・(ｕ(x+a)－ｕ(x))－K・(ｕ(x)－ｕ(x-a))

左辺はニュートンの法則の力。
右辺第1項は右のばねに引かれる力、第2項は左のばねに引かれる力(フックの法則)。
両辺をK・a^2 で割ると、

(M/Ka^2)・∂^2ｕ/∂τ^2＝{(ｕ(x+a)－ｕ(x))/a －(ｕ(x)－ｕ(x-a))/a}/a

(M/Ka^2)=c^2 は定数。上式でa→0の極限を取れば右辺はｕ(x)のaによる2階微分の形。微小のaをdx に書き換えて、
　
ｃ^2・∂^2ｕ(x,τ)/∂τ^2＝∂^2ｕ(x,τ)/∂ｘ^2

参考URL：http://jaguar.eng.shizuoka.ac.jp/lecture/chap/no …

No.4 回答者： morimot703 回答日時： 2009/04/04 08:28

古典的波動にかんしては、f(x、t)が、空間的にも時間的にも「同じ形の繰り返し」

となる（つまり、我々がよく知っている波）とすると、
古典的波動方程式が出てきます。
（式の導出は、あとで調べて書きます）
シュレティンガー方程式については、僕も同様な疑問があったのですが、
清水明「新版　量子論の基礎」を読んで、わかりました。
状態ベクトル|ψ>の|x,t>への射影 |x><x|ψ>　は、
|x,t><x,t|ψ>＝f(x,t）|x,t>　となります。
一般に、このf(x,t）が（シュレティンガー描像の）波動関数ψ(x、t)　と呼ばれています。
何故、「波動」なのか　つまり、空間的にも時間的にも「同じ形の繰り返し」かというと、
これに、
ih'∂/∂t|ψ>＝H^|ψ>　という（量子力学が成り立つための）要請
を入れると、ポテンシャルVが０では、上記のf(x,t）＝ψ(x、t)　が、
ψ(x、t)＝Aexp(kx-wt)　と表すことができるからです。
当然ながら、シュレティンガー方程式は、古典的波動方程式と違いますから、
常に、ψ(x、t)が「空間的にも時間的にも同じ形の繰り返し」と言えるわけでは
ありません。
尚、以下の本のｐ35,36とｐ６６に、
波動関数ψ(x、t)と古典的波との違いが、一目瞭然に書いてあります。
「Excelで学ぶ　やさしい量子力学」新田英雄
立ち読みで、十分わかる記述です。
（似た名前の本と間違えないように）