量子力学に微積分は有用ですか

Question

量子が関係する現象は数学でいう不連続なのではないかと想像しますが、複素関数の微積分なら量子現象に対応できるのでしょうか。

phyonco · Accepted Answer

不連続性は量子的な現象の特徴の一つではありますが、その不連続な量を微分方程式の解として表すこともあるとは思えませんか？微分というのは、普通時間や空間に関する微分で、不連続というのは、普通エネルギーに代表される物理量のことです。それで、時間や空間にかんする変化から物理量を導き出そうとするときに、方程式は時間や空間にかんする連続な微分方程式になりますが、そこから導かれる物理量の方が不連続になる、というのが量子力学で見られる一般的な風景です。微分積分は、量子力学に限らず、物理学の全般に渡っての基本的な道具立てになっており、それを使わずに済むような分野は無いと思って間違いありません。

HANANOKEIJ · Answer

ニュートン力学と微分積分、コペルニクス、ガリレオ、ケプラー、ニュートン。万有引力と力学的自然観。高校数学と大学教養学部教育の微分積分と、学部での解析(微分方程式、ベクトル解析、複素関数、フーリエ級数、ラプラス変換)の違いではないでしょうか。量子力学を勉強したことがありません。「数学が解き明かした物理の法則」ベレ出版、を読みました。量子力学と相対性理論を勉強するための数学の勉強をしています。
量子力学の本は、ブルーバックス「エクセルで学ぶ量子力学」保江邦夫著をもっています。見てみると、行列がでてきます。連立微分方程式、波動方程式という微分方程式、ヒルベルト空間、作用素、偏微分方程式、確率、統計、などなどです。確率微分方程式など、初めて聞く名前もでてきます。シュレーディンガーが発見した量子力学の背後に潜む、より基本的な法則として、保江氏が注目していたのが、ラグランジュの最小作用の法則を、ミクロの世界にまで普遍化するものだったそうです。変分、解析力学も必要です。大変だ。

cyototu · Answer

物理学の基本法則は、ニュートンの法則もマクスウェルの方程式も量子力学も一般相対性理論も、全て、微分方程式か、その積分形式で書かれています。したがって、微積分を使わずに物理学を語ることは、カレー粉抜きのカレーライスを食べたいと言うのと同じです。

hitokotonusi · Answer

1.　“不連続”について

量子力学の成立過程で最初にエネルギーの離散化(不連続化)を扱ったのは事実ですが、

量子力学＝離散的(不連続)

というのは間違いです。量子力学では連続固有値も扱います。

古典物理の範疇でも定在波の場合は離散的なエネルギーをとります。
量子力学でも離散化されるのは束縛問題で、定在波が形成される結果としてエネルギー固有値などが離散的になるだけで、これは古典物理となんら変わるところはありません。

量子力学では微分方程式を解いて求めるのは、エネルギーや運動量といった物理量ではなく波動関数という関数です。この波動関数は、物理的な考察からそれ自身とその一次微分が連続関数であることが要請されます。

2.　微積分について

量子力学は微積分の塊です。有用というよりは微積分ができないとついていけません。
量子力学を学ぶつもりなら、微積分はしっかりと身につけておいてください。
微積分で引っかかっていると、物理的な内容が理解できなくなります。

sanori · Answer

こんばんは。

大学で量子力学を学ぶとき、最初の辺りでこれを習います。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%95%E6%88%B8%E5%9E%8B%E3%83%9D%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%83%AB

微分方程式の解が離散的（不連続）になっています。


ご参考になりましたら。

量子力学に微積分は有用ですか

ニュートン力学と微分積分、コペルニクス、ガリレオ、ケプラー、ニュートン。

物理学の基本法則は、ニュートンの法則もマクスウェルの方程式も量子力学も一般相対性理論も、全て、微分方程式か、その積分形式で書かれています。

1. “不連続”について

こんばんは。

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