中学の者ですが、なんとか独学でここまで理解しています。
答えの載っていない参考書を持っていて、
それを読みながら勉強しているのですが、
ある問で、
微分方程式m(d^2x/dt^2)=-kt
の解は
x=A*exp(iωt)+B*exp(-iωt) (ただしω=√(k/m) )
の形で表わされることを示せ
というのがありました。
微分方程式の解き方は分かっていたので、素直に
x=C*sin(ωt+D) (CとDは定数)
としました。
ここからどうやって示すべき式に持っていくのでしょうか。
見当がつきません。
それから、速度をあらわす式vを時間tで表わし、
t=0のときx=a、t=0のときv=0という条件で、A,Bを
aとωを用いて表せというのもありました。
これは与えられた
x=A*exp(iωt)+B*exp(-iωt)
をそのままtで微分していいということなのでしょうか。
機械的にやってみたのですが、AもBもa/2という結果になり、
ωは出てきませんでした。
いま一つ問題が何を読者に気付いてほしいのかわからないことと、
最初に書きました表示の部分が分かりません。
どなたか詳しく教えていただけませんか。お願いします。
No.6ベストアンサー
- 回答日時:
とりあえずよくつかわれる解法です。
与えられた式は
m(d^2x/dt^2)+kx=0・・・(1)
です。
ここで、x=exp(λt)…(※)とおいて(1)に代入すると
mλ^2+k=0・・・(2)
の関係が得られる。
これの根はλ+=+j√(k/m)=jω、λ-=-j√(k/m)=-jωです。(ω=√(k/m)とおきました)
これらから得られる解(λ+,λ-を(※)に代入)を線形結合して、
x=A*exp(jωt)+B*exp(-jωt)
です。
(No.4さんのリンク先の、2階の場合 を参考にしてください)
質問者さんのような解法でいくなら、
x=C*sin(ωt+D)
=C*sinωt*cosD+C*cosωt*sinD
=Asinωt+Bcosωt(C*cosDも、C*sinDも定数なので、A,Bに置き換えました)
これにNo.3さんリンクのオイラーの公式を当てはめてみてください。
速度はおっしゃるとおりの解法で兵器です。xを時間微分して、初期条件を代入すれば、係数が決まります。
問題の意味というのは難しいですが・・・ 質問の微分方程式は、単振動の微分方程式(調和振動)と呼ばれています。物理において基本的な微分方程式の1つであるため、これを解けるようにしておくことはとっても意味があります。(ニュートンの運動方程式はxの二階微分方程式ですよね!!)
(d^2x/dt^2)=-(k/m)x
という式は、
「自分自身を二階微分すれば、係数が-(k/m)が出てくるけど、自分自身は変わらない」という風に見えるので、確かにsin,cos やexp(j~),exp(-j~)
って感じがしませんか?
2問目は、初期条件によって、係数が定まることを教えたいのかと思います。(係数が定まるということは、ある初期条件のもとでの物体の運動(x)が一意に表現できる ということ。)
いつもいつもご丁寧に、本当に感謝しております。
確かに落ちついて計算したらそうなりました。
闇雲に質問していたかもしれません。
ご迷惑をおかけしました。
大変よく理解することができました。
ありがとうございました。
No.4
- 回答日時:
No.3
- 回答日時:
この回答への補足
回答ありがとうございます。
sinやcosがiで表わされるのは初めて知りました。
ところで、最初に回答してくださった方が書かれた
x = C*sin(ωt+D) + E*cos(ωt+F)
の形から始めても、
これに{exp(iωt)+exp(-iωt)}/2などを代入してみても
目標にたどり着きそうにないのですが、
どこに誤りがあるのでしょうか。
度々すみません。
No.2
- 回答日時:
「解はx=A*exp(iωt)+B*exp(-iωt) (ただしω=√(k/m) )の形で表わされることを示せ」
x=..の式を元の微分方程式に代入して、微分方程式を満たすことを示す、という手を使うことが多いように思います。
(厳密には、全ての解がこの形になることを示す必要があるのでしょうが。)
「t=0のときx=a、t=0のときv=0」
v=dx/dtを計算して、xとvについてt=0の値をA,Bを含んだ式で表して、これがaと0になるようにA,Bを決定すればよさそうに思います。
回答ありがとうございました。
なるほど、考えてみます。
二問目のほうは確かにそう考えました。
書きましたようにωは消えてしまうのですが、
これで大丈夫なんでしょうか。
No.1
- 回答日時:
>微分方程式m(d^2x/dt^2)=-kt
これは、
m(d^2x/dt^2)=-kx …(1)
なのじゃありませんか?
>微分方程式の解き方は分かっていたので、素直に x=C*sin(ωt+D) (CとDは定数) としました。
この解きかたは OK です。
一般には、
x = C*sin(ωt+D) + E*sin(ωt+F)
これから、
d^2x/dt^2 = -(ω^2)*x
が得られるので、
ω^2 = k/m
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