どんな数でも無限級数の和になるのでしょうか

πやｅも級数の和と考える方が数学的なのだろうと想像しますが、どんな数でも何かの級数の和に必ずなっているのでしょうか。逆に決していかなる級数の和にもならない数というものも存在するのでしょうか。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/04/09 01:33

「級数の和」って微妙な表現なんだけど, 有限であればそれに収束する級数は必ず存在します.

条件収束する級数を 1つ持ってきて, 項の順番を適当に入れ替えるだけ....

No.2 回答者： banakona 回答日時： 2009/04/09 05:19

＞どんな数でも何かの級数の和に必ずなっているのでしょうか。

なっています。というか、できます。
ａに収束する級数が欲しければ、１に収束する級数、例えば

　１／２＋１／２^2＋１／２^3＋１／２^4＋・・・

を持ってきて、各項にａを掛ければ、ａに収束する級数の出来上がりです。

この回答へのお礼

ご教示ありがとうございます。a倍しないでもaになってしまうようなものがないのだろうかというつもりでした。

お礼日時：2009/04/09 12:49

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/04/09 10:42

もっといえば

a+0+0+...+0+... = a
か.

この回答への補足

その数固有の級数というものはないのでしょうか。素数に相当するような級数を空想しているのですが…

補足日時：2009/04/09 12:43

No.4 回答者： jamf0421 回答日時： 2009/04/09 13:54

No1さんのご回答が簡略ですが強力だと思います。

お望みの数をA（任意の実数）とします。一方aiを条件収束する級数とします。
1)ai→0(i→∞）
2)Σ'(i≦n)ai(正項）→+∞(n→∞）(正の項だけ足したら発散）
3)Σ"(i≦n)ai(負項）→-∞(n→∞)（負の項だけ足したら発散）
まず
Σ'(i≦n1)ai＞A
となる最小のn1をとります。（つまり初めに正の項だけならべてAを超えるところまで行きます。）次に
Σ'(i≦n1)ai+Σ"(i≦n2)ai≦A
となる最小のn2をとります。（今度は負の項を入れてAより少し小さくします。）以下これを繰り返します。Aを挟む振幅はai→0よりゼロになって行きます。つまり条件収束する級数をもってくれば順序を入れ替えてお望みのところに収束させられるのです。

この回答への補足

ご解説いただいたことをほとんど理解できないまま申し上げるのも恐縮ですがπやeなどについても同じようなことが言えるのでしょうか。またご解説によれば単一の数にも条件を満たす複数の級数が存在するのでしょうか。

補足日時：2009/04/09 14:53

No.5 回答者： jamf0421 回答日時： 2009/04/09 16:12

>πやeなどについても同じようなことが言えるのでしょうか。

収束先は何でもありです。

>またご解説によれば単一の数にも条件を満たす複数の級数が
>存在するのでしょうか。

そうです。
No2さんの例やNo1さんがNo3で示された例は絶対収束ですが、これらで、もうすでに複数挙がっていて、バリエーションはいくらでもできます。
条件収束の級数なら何でも（No1さんが書かれたように）順序を並べ替えればすきなところへ収束させられますから無数にありえます。ある数に固有の級数しか収束しない、ということはありません。

この回答へのお礼

一所懸命勉強したいと思います。かさねがさねありがとうございます。

お礼日時：2009/04/09 18:35

No.6 回答者： mis_take 回答日時： 2009/04/09 22:39

任意の実数ｘは１０進法の無限小数で表せます。

その小数部ｎ桁以降を切り捨てた数をｘ_nとすれば，ｘ_n→ｘ ですね。
例
3 3.1 3.14 3.141 3.1415 … →π
1 1.9 1.99 1.999 1.9999 … →２

この回答への補足

これは級数なのでしょうか。

補足日時：2009/04/10 13:28

No.7 回答者： mis_take 回答日時： 2009/04/09 22:46

「何かの級数」というのを，「第ｎ項を具体的にｎの式で表すことができる級数」という意味でしたら，それは不可能です。

具体的な式は可算個しかないのに，実数は非可算個あるから。

この回答へのお礼

私には難しすぎるご教示でしたが、ご教示いただいたことに対しお礼申し上げます。

お礼日時：2009/04/10 13:33

No.8 回答者： taparon 回答日時： 2009/04/09 22:58

「数」というのは実数や複素数のことを表しているのでしょうか？

例えば、実数の場合、無限小数で表せますので、必ず、
π＝3+0.1+0.04+0.001+0.0005+...
などと表せます。（No.6さんの回答の言い換えですが）。

この回答への補足

これも級数に入るのでしょうか。

補足日時：2009/04/10 13:29

No.9 回答者： Ishiwara 回答日時： 2009/04/10 12:49

どんな数でも無限級数の和になり得ます。

Ａという数を考えてみましょう。
Ａ/２＋Ａ/４＋Ａ/８＋Ａ/１６＋‥
はＡです。

この回答への補足

Ａが確定していなくてもよろしいのでしょうか。何となく未知数を既知数として扱っている過程でいつの間にか未知数が既知数になってしまうような感じを持ちます（非常に非数学的な輩の申し方で済みません）

補足日時：2009/04/10 18:05

No.10 回答者： orcus0930 回答日時： 2009/04/10 17:17

級数の各項に用いていい数の条件によって変わります。

用いてより数が実数ならば、
1/2+1/4+1/8+…=1を実数倍すればあらわせます。

次に、用いてよい数が有理数の場合、あらわせない数が存在します。
No7の方の言い換えですが、
有理数は整数÷整数であらわされるので、
整数が可算無限個（1番目=0,2番目=1,3番目=-1,4番目=2…と順番付けして数え上げられるが、無限個あるということ）
なので、
その組み合わせである、有理数も可算無限個になります。
その有理数の級数も、a[n]=(nの式)で表れるものは可算無限個になります。

実数は、非可算無限個（実数のすべての数に番号を付けることができない）なので、有理数の級数で実数全体をあらわすことは不可能です。

ただし、
a[n]をnの式であらわさなくてもよいのなら、
一の位を0桁目、十の1桁目、百の位を2桁目、、、、
小数第一位を-1桁目、第二位を-2桁目、、、、
とすれば、
a[n]=b[n]×10^n、b[n]=(n桁目の数)
として、
Σ[n=-∞～∞]a[n]であらわせます。

例：π
b[1]=b[2]=b[3]=…=0
b[0]=3,
b[-1]=1,b[-2]=4,b[-3]=1,b[-4]=5,…
として、πをあらわせます。

この回答への補足

私の理解力が弱いこと疑問だと思いますが、最後のπの表し方も級数と言えるのでしょうか。ほかの方にも同様の疑問を差し上げたのですが、おそらく私の不明のいたすところと想像いたします。

補足日時：2009/04/10 18:01