lim(An+Bn)=limAn+limBn の証明

・lim(An+Bn)=limAn+limBn

・lim(AnBn)=limAn×limBn

この2つの証明せよ

大学1年生です。
お願いします

No.3 回答者： cont711#2 回答日時： 2009/05/16 22:23

回答者さんが見ているかどうかわからないのでとりあえず下の問題だけ軽く解いておきます。

上の問題は書くのがメンドイんで、回答者さんがまだいるのなら書くかもしれません。

ただ、limAn=a,limBn=bが成り立っているとします（収束するとします）。

prf.
|AnBn-ab|
=|(An-a)Bn+a(Bn-b)|
≦|An-a||Bn|+|a||Bn-b|
<ε|Bn|+|a|ε=(|Bn|+a)ε

ここで、|Bn|がnに依存する変数であり、定数でないことが問題となる。ただ、収束する数列は有界であるから、|Bn|は上からおさえられる（|Bn|<Mをみたすある定数Mが存在する。）
ゆえに
(|Bn|+a)ε < (M+|a|)εとなり、（M+|a|はもちろん定数です）
結局
|AnBn-ab|<(M+|a|)ε=ε'が成立する。
上記の議論より、確かにlim(An)=a,lim(Bn)=bのときlim(AnBn)=abが成り立っている■

結構雑に書きましたが、こんな感じでどうでしょう？

No.2 回答者： masa072 回答日時： 2009/05/14 18:31

{An},{Bn}がともに収束することが前提条件ですね。

で，それぞれの極限値をα，βと置いて，ε-N法で証明できます。
あとは，三角不等式|a+b|≦|a|+|b|を利用ですね。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/05/14 14:12

「一般には証明できません」というのが正しいんだろうなぁ, きっと.

ある種の特別な場合には成り立って, そのときには極限の定義から簡単に証明できるんだけど.