No.14ベストアンサー
- 回答日時:
>Brown Numbers の線を実験(by the poorest spreadsheet !)
>k*n! + 1 = m^2 k = 1,2,3,4 の (n,m)
前回のバカでかい数値は、スプレッドシートの桁落ちによる解モドキ。
k*n! = q*(q+2)
の k : (n,q) に再トライ (n≦7)。
k=1 : (4,4), (5,10), (7,70)
k=2 : (4,6)
k=3 : (5,18)
k=4 : (3,4)
k=5 : (4, 10)
k=6 : ナシ
k=7 : (4, 12), (5, 28), (6, 70)
k=8 : (1, 2), (3, 6), (5, 30)
k=9 : ナシ
k=10 : ナシ
これでは、P(x) = n! には n > 7 の解は無さそう、という「予想」です。P(x) は 2次以上の整係数多項式。
↓
http://www.math.uiuc.edu/~berndt/articles/galway …
>THE DIOPHANTINE EQUATION P(x) = n! ......
No.13
- 回答日時:
前へもどってみましょうかね。
↓
>m までの和と、n までの階乗が等しければ、
> m = {SQRT(8*n! + 1)-1}/2
SQRT( ) の中身が平方数とする。
8*n! + 1 = p^2
8*n! = p^2 - 1 = (p+1)*(p-1)
これが成立するのは、(p+1), (p-1) ともに偶数の場合。
・n=1 : 8 = p^2 -1, つまり 9 = p^2, p=3 。
・n=2 : 16 = p^2 -1, つまり 17 = p^2, NG 。
・n=3 : 48 = p^2 -1, つまり 49 = p^2, p=7 。
・n=4 : 192 = p^2 -1, つまり 193 = p^2, NG 。
・n=5 : 960 = p^2 -1, つまり 961 = p^2, p=31 。
・n=6 : 5670 = p^2 -1, つまり 5671 = p^2, NG 。
この先は、いちいち勘定するに耐えません。一網打尽にできないものでしょうか。
No.12
- 回答日時:
閑話で失礼。
Brown Numbers の線を実験(by the poorest spreadsheet !)
k*n! + 1 = m^2 k = 1,2,3,4 の (n,m)
k=1 : (4,5), (5,11), (7,71)
k=2 : (4,7), (28,780881994429009), .... ?
k=3 : (1,2), (5,19), (28,956381217838965)
k=4 : (2,3), (3,5), (27,208699491618148)
そもそも、勘定合ってますかね。
小さい桁は電卓で計算したら、合っていましたけど、大きい桁はわかりません。私の間違いでなければ、k=6のときは、小さい桁のペアは見つからないと思います。
疑問ですけど、どんなkであっても、ペアは存在するのでしょうかね。
No.11
- 回答日時:
#3/#6/#7です。
arrysthmiaさん、「ケース3」を追加してくれて、ありがとうございます。
ひょっとしたら、#3/#6の考え方はまだ望みがあるのかもと感じさせてくれます。
しかし、素数冪の問題は難問です。
(素数の問題には詳しくない私には特に・・・)
ちなみに、空いた時間でPCに 178tallさんのアルゴリズムで計算させています。
今のところ、
< n≦1800 では n=1,3,5以外の解はない >
ようです。
この回答への補足
nが偶数のときは、解がない。
nが奇数でケース1のときは、1,3,5以外に解がない。
ここまでは、正しそうですね。
だから、nが奇数のときのケース2とケース3を調べればよさそうですね。
No.10
- 回答日時:
#10です。
m=7 のは間違いです!初歩的な間違いをしてしまいました・・・申し訳ないです。
8m!+1に代入したときに、どういう奇数の二乗になっているかを書いただけです。
No.9
- 回答日時:
皆さんの回答と少し重複してしまうかもしれませんが。
1/2*n(n+1)=m! これをnの二次方程式と見て、解の公式をあてはめると、 「8m!+1が奇数の二乗」になることが、自然数の解が存在することと同値です。(8m!+1が奇数なので、平方数になればそうはなりますが。)
m=1 のとき (2*1+1)^2 =3^2
m=3 のとき (2*3+1)^2 =7^2
m=5 のとき (2*15+1)^2 =31^2
m=7 のとき (2*35+1)^2 =71^2
となりました。(*の後ろの数字が解になります)m=9,11を電卓で平方根をとったら整数にはなりませんでした。奇数で成り立つのはこれしかないかもしれません。
mが偶数の時もどうなるかわかりません。最初の二つは素数になったのですが、その後もそうなるかは不明です・・
この回答への補足
m=7のときは、成り立たないと思うのですけど、私の勘違いでしょうか。もし、成り立つならば、大発見だと思います。
それから、示されている式は恒等式なのですが、どのように導出されたのか、わかりません。
No.8
- 回答日時:
一番厄介なのは、ケース 3)
右辺の 1 ~ n の中の偶数にも、
素因数分解すれば奇数因子がある。
それを、左辺の奇数因子側に含めてもよい。
…という場合なんだけど。
これに注意して弱めた条件なら、
偶数だけでなく、一般の倍数にも適用できる。
2 (n !) の素因数分解に現れる各
素数巾は、左辺の形に分解する際、
m か m+1 の一方にまとめて含めねばならない。
m と m+1 は、互いに素だから。
さて、これが、どう使えるか…
No.7
- 回答日時:
似て非なる問題ですけど、Brown Numbers というのがあるそうで…。
n! + 1 = m^2
(厳密には解けてないらしい)
(n, m) は、
(4,5), (5,11), and (7,71)
の 3 ペアしかないだろう。
という予測(conjecture)があるんだそうです。
丸投げです。
反問はお控えください。
---------------------------------------------------
http://en.wikipedia.org/wiki/Brocard%27s_problem
>Brocard's problem / Brown Numbers
Brocard's problem asks to find integer values of n for which
n! + 1 = m^2
where n! is the factorial.
Pairs of the numbers (n, m) that solve Brocard's problem are called Brown numbers.
There are only three known pairs of Brown numbers:
(4,5), (5,11), and (7,71).
Paul Erdos conjectured that no other solutions exist.
No.6
- 回答日時:
#3です。
#4/#5を拝見しました。
確かに、偶数が 偶数×奇数 に分解できることを忘れていました。
#3/#6の回答は忘れてください。
ご指摘ありがとうございます。
No.5
- 回答日時:
#3です。
#3に追記です。
nが奇数(=2k+1)の時ですが、「ケース1」については k=0,1,2 (n=1,3,5) 以外に存在しないことが示されます。
g(k)=(左辺の奇数)-(左辺の偶数) とおきますと、
g(k)=(2k+1)!!-2(2k)!! ≧-1 (等号成立は k=0,1,2のとき)
となり、g(k)が単調増加であることを考えると、|g(k)|=1 となるのは、 k=0,1,2(つまり、n=1,3,5)の時しかないことが分かるからです。
なお、nが奇数の時の「ケース2」については難問です・・・
ちなみに、「8×n!+1が平方数になる」という問題は、結局元に戻って、#3の式☆に行き着きますよ。
8×n!+1は奇数ですので、(2a+1)^2 と置きます。
8n!=2a(2a+2)
∴2n!=a(a+1)
となり、a=m で式☆に帰着します。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- Java javaの質問です 次の機能を有するメソッド4つを自クラスに作成し、実装したいです 【機能】 足し算 1 2022/06/15 17:49
- 数学 法則名ありますか? 2 2022/10/09 16:21
- Java java 飾子を付けること(public static・・・) ・コンソールへの出力処理はmainメ 2 2022/06/16 19:34
- 数学 小学生がたった1日で19×19までかんぺきに暗算できる本、のおみやげ算。数学的に言うと何? 3 2023/04/07 09:35
- 数学 540の約数の総和が(1+2+2^2)(1+3+3^2+3^3)(1+5)になる理由(掛け算と足し算 3 2023/01/21 12:20
- 数学 【abc予想】足し算で1番重要な数字は10ですが、足し算と掛け算が交わり合う世界では5が 1 2022/09/16 19:18
- その他(学校・勉強) そろばんのことで質問です。私は初心者なんですが・・・ ①かけ算の答えの桁数はかける数とかけられる数の 5 2022/11/03 11:11
- 数学 京都大学教授が証明。 「ABC予想・宇宙際タイヒミューラー予想」を、ザックリで説明お願致出来ますか? 1 2022/04/11 20:52
- 建設業・製造業 土量算出 3 2022/09/26 19:57
- 数学 数学的な意味が見いだせない指標(野球篇) 6 2023/05/13 20:37
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
1/∞=0は、なぜ?
-
SQL文のwhere条件文で使う <> ...
-
Xの二乗-X+1=0 という2次方程式...
-
数学で、項を指すとき、例えば2...
-
4n-1の形の自然数は、必ず4m-...
-
置換を互換の積で表す σ=(1234)...
-
写真は三角不等式についてです...
-
数学の等式の証明の最後を省略...
-
等式記号に似た三本線
-
公務員試験 数列の問題です
-
どうしてa>0, b>0のとき、a=b⇔a...
-
x/(x+1) = 1 - 1/(x+1)
-
二重根号についてです。 なぜ下...
-
'='と':='の記述の違い
-
画像の式のなぜ緑の下線部の式...
-
mの2乗+nの二乗が偶数ならば...
-
プール代数の問題なんですけど ...
-
x=y=z=0 の否定
-
Ix-1I=2を解く時にはx-1=±2を解...
-
数2 この問題で、この3つの辺...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
SQL文のwhere条件文で使う <> ...
-
1/∞=0は、なぜ?
-
数学で、項を指すとき、例えば2...
-
Xの二乗-X+1=0 という2次方程式...
-
記号(イコールの上に三角形)...
-
x/(x+1) = 1 - 1/(x+1)
-
等式記号に似た三本線
-
説明変数と被説明変数とは何で...
-
どうしてa>0, b>0のとき、a=b⇔a...
-
x^n+1をx^2+x+1で割った余りを...
-
高2数学です α二乗+β二乗=α...
-
計算式の問題です。
-
高2恒等式
-
数学における 等価と同値って同...
-
a>b,c>dのとき、不等式ac+bd>ad...
-
xy-x-y+1 【因数分解】
-
二重根号についてです。 なぜ下...
-
「別々のセルの3つの日付が同じ...
-
組み合わせの公式
-
次の式を因数分解せよ。 x³-3x ...
おすすめ情報