数学

下の展開図で示される四面体の体積はどのようにしてもとめていいのか、どのようにとけばいいのでしょうか？

△▽△▽　

でそれぞれの△▽の隙間をくっつけて、四面体の体積を求めたいのです。
それぞれの△の長さは底辺√２、２つの斜辺は√１０です。

アドバイスお願いします。

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2009/06/18 13:34

三角錐の体積ですので底面積×高さ/3で求められます

底面積を求めるのは簡単ですので、後は高さだけです。

便宜的にこの三角錐をA-BCDとあらわします。
AB=CB=√2,他の辺の長さは√10とします。

Aから△BCDにおろした垂線の足をHとしますと△ABH,△ACHは直角三角形ですから
AB^2=AH^2+BH^2 (1)
AC^2=AH^2+CH^2 (2)
の式がでてきます。
AB,ACは与えられていますが、残りの3つは判別していないため式が足りません。

もう一つの式は、HからCDにおろした垂線の足をH'としますとB,H,H'が対象性から1直線上に並ぶことから求められます。
BH'=BH+HH' (3)
△CHH'が直角三角形であることから
CH^2=HH'^2+CH'^2 (4)
BH',CH'は求めることができます。この4つの式で判らない長さが４つですのでれんりる方程式をとくことが出来ます。

後は自力でがんばってください。

この回答への補足

回答ありがとうございます。

B,H,H'が対象性から1直線上に並ぶことから求められます。

ということがわかりません。
なぜか教えてください。

補足日時：2009/06/18 13:51

No.2 ベストアンサー 回答者： banakona 回答日時： 2009/06/18 14:49

４つの面はいずれも底辺が√２、２辺が√１０の２等辺三角形でいいでしょうか？

　
　だとすれば次のように計算できます。
四面体をＡ－ＢＣＤとし、ＢＣ＝√２、ＣＤ＝ＤＢ＝√１０とします。△ＢＣＤを含む平面上で、Ｂを通ってＣＤに平行な線、Ｃを通ってＢＤに平行な線、Ｄを通ってＢＣに平行な線を引き、これらの３直線で囲まれる三角形を△ＥＦＧとします（下図参照）。

△ＥＦＧは△ＢＣＤの相似形で、辺の長さは２倍です。
△ＡＥＦはＡＢ＝ＢＦ＝ＢＥ（＝√１０）なので∠ＥＡＦ＝９０度の直角三角形。ＡＥ＝ｅ、ＡＦ＝ｆとするとＥＦ＝２√１０（＝√４０）なので三平方の定理で、ｅ^2＋ｆ^2＝４０　・・・(1)
　同様に、△ＡＦＧ、△ＡＧＦも直角三角形なのでＡＧ＝ｇとすると、
ｅ^2＋ｇ^2＝４０　・・・(2)　
　ｇ^2＋ｆ^2＝８　・・・(3)
(1)(2)より　ｆ＝ｇ　(3)に代入すると　ｇ＝ｆ＝２　
(1)より　e＝６　
四面体Ａ－ＥＦＧで、底面を△ＡＥＦとすると△ＡＥＦ＝ｅｆ／２＝６・２／２＝６
　高さはｇなので、四面体Ａ－ＥＦＧ＝ｇ・△ＡＥＦ／３＝２・６／３＝４
　
　底面を△ＥＦＧとすると、四面体Ａ－ＢＣＤはＡ－ＥＦＧの１／４の体積だから四面体Ａ－ＢＣＤ＝４／４＝１

　計算ちがいがあったらごめんなさい。

No.3 回答者： rnakamra 回答日時： 2009/06/18 16:50

#1のものです。

前提が間違えていました。
AB=CD=√2です。
隣り合う辺が同じ√2になることはありませんね。

>B,H,H'が対象性から1直線上に並ぶことから求められます。
これなら判るのではないかと思います。
△BCDがBC=BD=√10の二等辺三角形、△ACDがAC=AD=√10の二等辺三角形となりますので対称性(字を間違えていました)からAから△BCDにおろした垂線の足はBからCDにおろした垂線上にのります。