コンデンサに働く力

『極板距離ｘ、極板面積Sのコンデンサに電圧Vをつないだ。このコンデンサの極板間に働く力Fを仮想変位で求めよ』という問題を解きたいので仕事の定義を考えてやろうと思ったのですがうまくいきません。

極板が上方向にΔｘ動いたと仮定します。動かす前の仕事をW、動かした後をW’とします。εは誘電率

W＝（1/2）CV^2＝εSV^2/2x
W’＝εSV^2/2(x+Δx)

なので、ΔW＝W’－W＝-(V^2εSΔｘ)/(2x(x+Δx))
となりました。

よって、F＝ΔW/Δｘ
で出せるかと思ったんですけどΔWの式の分母分子にΔｘが出てきて割ってもうまく消えそうにありませんし、ここまでの考え方は正しいのかわかりません。
どうすればいいのでしょうか？？

ちなみにVが接続されているときは
dW+Fdx=VｄQという微分でやる公式は習いましたが、このやり方より上に書いたような、ΔW＝FΔｘなんだからF＝ΔW／Δｘっていう単純明快なやり方のほうを知りたいのです。
やってることは同じだとは思うんですが、わざわざ微分する必要がわかりません。ΔW+FΔｘ=VΔQを変形したら、F＝ΔW/Δｘにできるので割り算でなんとか求められないものか・・

読みづらい文章ですみません

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2009/07/12 22:12

用語の使い方がおかしいので指摘しておきます。

>動かす前の仕事をW、動かした後をW’とします
これは"仕事"ではなく"エネルギー"です。まあ、同じ次元の物理量なのですが一応違う概念なのでご注意を。

今回の方法で計算する上で注意しておかないといけないのは、電池が行う仕事です。
極板を動かす力がなす仕事のほかに、電池が仕事をしていることを忘れてはいけません。
つまり
極板間に蓄積されたエネルギーの変化=極板を動かす力がする仕事+電池が電荷を動かすことでする仕事
になります。

電荷量が変化しなければ電池は仕事をしないのですが、今回の場合電荷量が変化するため、その電荷を運ぶ分電池が仕事をします。
それがVΔQなのです。これは消すことはできません。
ですから、
>ΔW+FΔｘ=VΔQを変形したら、F＝ΔW/Δｘにできる
などということは絶対にありません。
まあ、この式間違っていますが。
実際はエネルギーの変化をΔE,力がする仕事がFΔx,電池の仕事をVΔQとすると
ΔE=FΔx+VΔQ
です。
ΔE=-(V^2εSΔｘ)/(2x(x+Δx))は正しい。
ΔQ=-C'V-CV=-(VεSΔｘ)/(x(x+Δx))ですから
VΔQ=-C'V-CV=-(V^2εSΔｘ)/(x(x+Δx))

これから、
FΔx=ΔE-VΔQ=(V^2εSΔｘ)/(2x(x+Δx))
となります。(ご質問にある式と符号が違っていることに注意)

F=(V^2εS)/(2x(x+Δx))
となります。
これはΔxが有限の大きさを持つときのFの平均値を出す式ですが、瞬間の力はΔx→0の極限で考えればよいので
F→(V^2εS)/(2x^2)
となります。

まあ、私から言わせれば、わざわざΔxなどどおいて微分を使わずに計算することのほうがよっぽど無駄足踏んでるとしか思えませんが。

この回答へのお礼

早速の回答、感謝します！
ΔQ=-C'V-CV=-(VεSΔｘ)/(x(x+Δx))という式も入れる必要もあったのですね。
ところで説明中にいくらか疑問がありますので、再度、質問させてください。
まず、ΔE=FΔx+VΔQという式です。説明を見ると確かにそうだと思いましたが、下のURLのサイト（ｐｄｆです）の６～７ページにおいて、ΔW=-FΔx+VΔQという記述があります。そして私の持っている演習プリントにも天下りにΔW+FΔｘ=VΔQと書いてありました。
URLを参照すると、ΔW+FΔｘ=VΔQから、F＝ΔW/Δｘが導き出せるとあります。
http://ee.shinshu-u.ac.jp/~e-device/lecture/denk …

次に、rnakamra様の出された答え符号はプラスですが、吸引力が働くと思いますので、マイナスであると思います。そこから考えますと、やはりΔW+FΔｘ=VΔQなのではないのでしょうか？
rnakamra様のΔE=FΔx+VΔQをURLの考え方で変形していけば、F＝-ΔW/Δｘとなってしまいます。

お手数ですが、教えていただくとありがたいです。。

お礼日時：2009/07/12 23:00

No.2 回答者： yokkun831 回答日時： 2009/07/12 22:14

計算されたエネルギー変化ΔＷには，極板を移動させるときの電源による仕事も含まれているので，それを考慮しなければならないと思います。

それがＶΔＱになるわけですね？　電荷は減少するので，この仕事は負になります。また，仮想変位は無限小でよいのですから，Δｘのべきに展開をしてΔｘの一次までの近似をとればよいわけです。

No.3 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2009/07/13 01:49

#1のものです。

>次に、rnakamra様の出された答え符号はプラスですが、吸引力が働くと思いますので、マイナスであると思います。そこから考えますと、やはりΔW+FΔｘ=VΔQなのではないのでしょうか？

力の取り方とそれに伴う仕事の考え方によります。
私のやった計算は、外部から力を加えた場合のエネルギーの変化で見ています。
極板間に働く力につりあう力で極板を押し、その仕事の大きさとエネルギーの関係で考えているため、符号が逆になっています。
極板間に働く力で仕事をさせた場合はΔW+FΔｘ=VΔQでかまいません。
この場合、力の正の向きが逆になりますので、最終的に得られる答えは同じになるはずです。

>ΔW+FΔｘ=VΔQから、F＝ΔW/Δｘが導き出せるとあります。
VΔQ=2ΔWになると書いてあると思います。
ですからFΔx=VΔQ-ΔW=2ΔW-ΔW=ΔW
となります。
これはコンデンサに蓄えられたエネルギーW=QV/2であり、ΔW=Δ(QV)/2=(VΔQ+QΔV)/2=VΔQ/2 (ΔV=0)
であり、電源のした仕事VΔQがこの2倍であることから導かれます。