複数の周波数の波が重なったときRMSはどうやって計算しますか？

50Hzでも500kHzでもただ一つだけ正弦波がある場合、
そのRMS値はその正弦波のp-0の電圧を√2で割った値となります。
一方で50Hzと500kHzが混在する場合には２つの正弦波のRMS値が
足し合わせの波のRMS値になると思います。

ではホワイトノイズはあらゆる周波数の波（0Hz～∞Hz)の足し合わせとなるわけですが、とするとホワイトノイズのRMS値は∞となってしまうのでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： sinisorsa 回答日時： 2009/08/02 11:20

RMSの定義は、２乗平均値の平方根。

２つの正弦波の和の形をした信号の場合、周波数比が有理数ならば、
２つの正弦波は直交しますので、それぞれの２乗平均値の和が
その信号の2乗平均値になります。
従って、単純にRMS値の和ではありません。
いったん2乗してから和を求め、それの平方根になります。
周波数比が無理数の場合には、２つの正弦波の和の信号の周期は
無限大になります。このときには、厳密な計算はできませんので、
適当に長い周期を仮定して定義に従って積分を行うことになります。
この場合、直交性が使えません。従って、2乗平均値の和がその信号
の2乗平均値になりません。
さて、ホワイトノイズの場合には、周期的ではありませんし、
成分信号の直交性も使えませんから、定義どおり、
十分に長い時間にわたって２乗平均値を求め、それの平方根です。
これは有限です。いくら時間を延ばしても有限です。

No.5 回答者： imoriimori 回答日時： 2009/08/03 10:08

先の私のコメント訂正します。

よく見たらharagyatei様のご回答も正しいです。周波数範囲と時間範囲とを読み間違えました（深く反省、失礼を陳謝します）。そうなんです、無限周波数まで延びた完璧な白色雑音のRMS値は無限大です。

有理数無理数の話ですが、＃２様ではなく私に聞かれてしまったので、私なりにあえて述べれば（また間違えて恥をかきそうですが）、加算波形が有限周期で繰り返すか否かということです。有限周期で繰り返すなら定義通りにRMS値を計算できる。繰り返さないならちょっと面倒になるということわけで。

No.4 回答者： imoriimori 回答日時： 2009/08/02 21:10

錯綜した答えが出ていますが、＃２のsinisorsa様のみが真実だと思われます。

人様の回答を批評すべきでないのは承知ですが、このままでは質問者様が？？？となってしまいますので、あえて私見を次のように記します。（不適切でしたら削除を希望します）
＃１様の標準偏差がRMS値と同じであるというのは正しいですが、ノイズがホワイトであるかどうかは原信号値の頻度分布がガウシアン分布か否かには無関係なはずです。時々刻々の値が他の時刻の値と挙動相関するかしないかが有色か白色かの分かれ道ですので。
＃３様のホワイトノイズのRMSが無限というのもおかしいようです。RMSというのは時間当たりの平均パワーを問うことから出発しますから、期間が無限大でもRMSは無限大にはならず一定の値に収束するだけのはずです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

でも、No2さんの回答で有理数だと足し算出来て、無理数だと足し算出来ないという理由というか原理が分かりません。
なぜ有理数・無理数で境目が出来るのでしょうか？

お礼日時：2009/08/03 09:27

No.3 回答者： tance 回答日時： 2009/08/02 11:40

理想的なホワイトノイズはその周波数帯域が無限大という

だけではなく、信号の出現頻度がガウシャン分布に従う
必要があります。

詳しく証明するのは面倒ですが、結論は標準偏差がRMSと
等しくなります。

No.1 回答者： haragyatei 回答日時： 2009/08/01 21:48

ホワイトノイズは現実には理論通りのものは存在しません。

なぜならRMSが無限大になるからです。普通考えている範囲より十分帯域が広いときにホワイトノイズと考えます。これは周波数範囲が有限なので有限のRMSです。理想的なホワイトノイズはRMSが無限となってが正しいです。