A 回答 (8件)
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No.8
- 回答日時:
>たとえば3つの連続する整数を6m-1,6m、6m+1とするとその積は必ず6の倍数になるため証明になっていないように思われるのですが
任意の整数は、6m,6m+1,6m+2,6m+3,6m+4,6m+5 の6種類に分類されます。(6m-1は6m+5と、6m-2は6m+4と同じ種類です)
3つの連続する整数を6m-1,6m,6m+1だけに限るのは片手落ちで、
6m-2,6m-1,6m
6m-1,6m,6m+1
6m,6m+1,6m+2
6m+1,6m+2,6m+3
6m+2,6m+3,6m+4
6m+3,6m+4,6m+5
の6通りすべてを証明しなければなりません。
はじめの3つは、6mを含むから自明ですね。
後の3つは、
(6m+a)(6m+b)(6m+c)=6m(36m^2+6(a+b+c)m+ab+bc+ca)+abc
なので、abcが6の倍数なら、(6m+a)(6m+b)(6m+c)は6の倍数になります。
6m+1,6m+2,6m+3は、1×2×3=6
6m+2,6m+3,6m+4は、2×3×4=6×4
6m+3,6m+4,6m+5は、3×4×5=6×10
なので、すべて6の倍数です。
No.7
- 回答日時:
>連続する2つの整数の積は2の倍数であることの証明はご指摘以外は難しいですか?たとえば3つの連続する整数を6m-1,6m、6m+1とするとその積は必ず6の倍数になるため証明になっていないように思われるのですが、
何が言いたいの? 意味不明なんだが。
推測して書くと、6の倍数は2の倍数じゃないの?
No.6
- 回答日時:
うっかりミス。
。。。。。。w(誤)(2k)*(2k+1)=4k^2+2k=2k^2-2k+2k^2+2k=2k*(k-1)+2k*(k+1)=2{k*(k-1)+k*(k+1)}であるから、2の倍数。
(正)(2k)*(2k+1)=2*(k)*(2k+1)であるから、2の倍数。
連続する2つの整数の積は2の倍数であることの証明はご指摘以外は難しいですか?
たとえば3つの連続する整数を6m-1,6m、6m+1とするとその積は必ず6の倍数になるため証明になっていないように思われるのですが、勝手な理屈で申し訳ありません
No.5
- 回答日時:
先ず、連続する2つの整数の積が2の倍数である証明。
2つの整数を、2kと2k+1(kは自然数)とすると、(2k)*(2k+1)=4k^2+2k=2k^2-2k+2k^2+2k=2k*(k-1)+2k*(k+1)=2{k*(k-1)+k*(k+1)}であるから、2の倍数。
その上で、3つの連続する整数を、3m-1、3m、3m+1(mは自然数)とすると、(3m-1)*(3m)*(3m+1)=12m^3-12m+12m^3+12m+3m^3-3m=(12m)*(m+1)*(m-1)+(12m)*(m^2+1)+3(m)*(m+1)*(m-1)。
第1項と第2項は12の倍数から6の倍数、第3項は(m)*(m+1)は連続する2つの整数の積から2の倍数だから、3(m)*(m+1)は6の倍数。
以上により、3つの連続する整数の積は6の倍数。
27m^3を12+12+3に分ける発想は思いつきませんでした
勉強になりました
4k^2+2k=2k^2-2k+2k^2+2kの等式が少し不明なのですが
No.4
- 回答日時:
3つの連続する整数は
6k,6k+1,6k+2,6k+3,6k+4,6k+5,6k+6,6k+7のうち、連続する3つで表せます。
このように表してしまえば、場合分けして証明できると思います。
(1)6の倍数、6kまたは6k+6を含む場合
一目瞭然。積は必ず6の倍数になる。
(2)6k+1,6k+2,6k+3の場合、6k+2,6k+3,6k+4の場合、6k+3,6k+4,6k+5の場合
3の倍数(6k+3)と2の倍数(6k+2,6k+4の少なくとも一方)を含むので
積は必ず6の倍数になる。
Q.E.D.
No.2さんの
>「3つの連続する整数の中に2と3あるいはその倍数が含まれているので」という説明だけで十分だと思いますよ。
というので十分だとは思いますが。
No.3
- 回答日時:
No.2さんの
>「3つの連続する整数の中に2と3あるいはその倍数が含まれているので」という説明だけで十分だと思いますよ。
というので十分かもしれませんが、質問者様が式で証明したいのであれば、
(1)3つの連続する数字の始まりが偶数の場合 2m*(2m+1)*(2m+2)
(2)3つの連続する数字の始まりが奇数の場合 (2m-1)*2m*(2m+1)
と場合分けをして証明することができます。
No.2
- 回答日時:
「数を代入せず」の意味がよく解らないのですが・・・
「3つの連続する整数の中に2と3あるいはその倍数が含まれているので」という説明だけで十分だと思いますよ。
必ず1つ存在する3の倍数を3m、少なくても1つは存在する2の倍数を2n、残りの数字をlとすると、その3つの数の積は 3m×2n×l=6mnl になるから、3つの連続する整数の積は6の倍数である、というだけじゃダメですかねぇ?
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