∫(2x^2+x+1)/((x-1)(x+1)^2)dx

∫(2x^2+x+1)/((x-1)(x+1)^2)dx
この問題の解き方が分かりません。
置換積分で解いてもうまくいきませんでした。
どのように解けばよいのでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2010/01/03 17:36

被積分関数が分数関数の積分は、

被積分関数を部分分数展開して、展開した分数ごとに積分する
ことが定石です。
(2x^2+x+1)/((x-1)(x+1)^2)
=1/(x-1) + 1/(x+1) -1/(x+1)^2

∫(2x^2+x+1)/((x-1)(x+1)^2)dx
=∫1/(x-1)dx + ∫1/(x+1)dx -∫1/(x+1)^2dx

後は簡単な積分なので自分でやってください。

この回答へのお礼

おかげさまで解けました。
ありがとうございます。

お礼日時：2010/01/03 23:18

No.1 回答者： inara1 回答日時： 2010/01/03 17:03

　　( 2*x^2 + x + 1 )/{ (x-1)*(x+1)^2 } = a/(x-1) + b/(x+1) + (c+x + d )/(x+1)^2

と展開すれば簡単に積分できます。a～b は、上式がxに依らず成り立つような定数です。

この回答への補足

a/(x-1) + b/(x+1) + (c+x + d )/(x+1)^2
どうしてこのように展開したのかがわかりません。
公式なのですか？

補足日時：2010/01/03 17:07