ph計算（水の電離を無視しないで）

ある濃度の一価の酸のpHを求めよという問題があったとして、
酸の濃度 Cmol/L,電離定数 Kmol/Lが与えられているとすると、
平衡状態において、酸から電離したH+イオンの濃度、水から電離したH+イオンの濃度をそれぞれX,xmol/Lとおくと
電離平衡より (x+X)X/(C-X) = K
水のイオン積より (x+X)x = Kw
という方程式が立てられて、x,Xの値が求まり、phもわかりますよね。
これを厳密に解くのは現実的でないのでx+X=Xと近似できるとすると
X^2/(C-X) = K
Xx = Kw
となりこれなら二次方程式を解けば良いだけです。(高校化学の参考書ではこうやって解いてる)
しかし実際には近似できないときに近似した後の式を解くとどうなるのでしょうか？例えば実際には近似できないときに、近似後の式の解が近似できるような解であるということはありえるんでしょうか？(方程式が別物になるわけだから)
つまりこの問題に限らず
P:(近似前の方程式の解が近似できる)⇔Q:(近似後の方程式の解が近似しても良かったような値)
なんでしょうか？そもそもP⇒Qであるのかもわかりません。
ほとんど数学っぽいですね笑
高校化学は適当にやれば良いんでしょうか？

No.4 回答者： htms42 回答日時： 2010/01/20 06:50

＞X^2/(C-X) = K

＞Xx = Kw
＞となりこれなら二次方程式を解けば良いだけです。(高校化学の参考書ではこうやって解いてる)

高校の化学でよく出てくる式は上の式にさらに近似を加えたものです。
Ｘ＝√(ＣＫ)
という式が公式としてあちこちに出てきます。このカテでもこの式をいきなり使っている回答を見ます。これは初めの式で分母の（Ｃ－Ｘ）のなかのＸを落としたものです。この近似は定数の間の関係になっていませんのでわかりにくい面があります。Ｃ＞＞Ｘに上の結果を入れるとＣ＞＞√(ＣＫ)ですからＣ＞＞Ｋです。この条件が意識されていない場合が多いようです。２つ近似が入っているのです。

二次方程式だから解けばいいのにと思うのですが高校生が近似計算の方法を知らないということで近似をした結果がでてきてしまうようです。まともに計算すると
Ｘ＝２ＣＫ/(Ｋ＋√(Ｋ^2＋４ＣＫ))
　＝２Ｃ／(１＋√(１＋４(Ｃ／Ｋ)))
です。
Ｃ／Ｋ＞＞１のときは
Ｘ～２Ｃ／√(４Ｃ／Ｋ)＝√(ＣＫ)になります。
ＣとＫに値を入れて一致の具合を調べてみてはいかがですか。
これは普通の電卓で計算できます。
（近似はＣ／Ｋの値で決まっているというのにも注意が必要です。Ｋの値だけでの考察は不十分です。）

［Ｈ^＋］＞＞［ＯＨ^－］の場合はすぐに［Ｈ^＋］＞（　）という値が計算できます。単に「Ｘ＞＞ｘであれば」としておいておくのではなくて値を決めてしまえば判定が楽になります。
［ＯＨ^－］／［Ｈ^＋］＜０．０１
であれば［Ｈ^＋］＞１０^(-6)Ｍ　です。
はじめから近似の成り立つ範囲がわかっているのですから計算した結果がこの範囲に入ってくるかを確認すればいいだけになります。

滴低曲線を求めるときなどでは
Ｘとｘという風に分けて表現するのはいい方法だとは思いません。
変数は［Ｈ^＋］と［ＯＨ^－］です。
＃３に書かれているようにｅｘｃｅｌを使って計算する場合、［Ｈ^＋］から［Ｎａ^＋］を求めるということになります。このときの［Ｈ^＋］はいつも（Ｘ＋ｘ）です。（これは電卓でもできます。）


　

No.3 回答者： c80s3xxx 回答日時： 2010/01/18 22:06

近似を入れて解いた場合，必ずその数値を大元の，近似導入前の式に入れて計算し直して，矛盾がない，ないし，ずれが小さいことを確認します．しなくてはいけません．

これでずれる場合は，その値から少しずれたところに答があるはず，として探していきます．探すアルゴリズムはいろいろあります．

しかし，妙な近似をあれこれ考えるくらいなら，さっさと数値解を求めた方が今の世の中現実的でしょう．ニュートン法でもいいですし，中点法でもいいです．昔と違って，計算機資源なんてただみたいなものですから．
Excelの表だけでプログラムを組まずに数値解を求める方法：
http://photo-m.tp.chiba-u.jp/~yjo/tips/numerical …

No.2 回答者： nious 回答日時： 2010/01/18 17:28

弱酸の初濃度Cや解離定数:Kaがとんでもなく小さかったりすると、

水の解離により生じる[H^+]が無視できなくなる事はあるでしょうね。




無視できないなら、カルダノやらニュートン法でしょうね。




因みに、十分小さなrをとると、(Kh=Kw/Ka)

C＞{Kh+√(rKw)}/r であれば水の解離による[H^+]は無視できる事になりまし。

例えば、x/X＜r=0.01として1%未満で無視できるものとすると、

酢酸の場合なら近似的に、C＞1.1*10^(-6)M 程度なら
水の解離により生じる[H^+]がほぼ1%未満となり無視できる事になると思いまし。

この回答へのお礼

詳しくありがとうございます。

お礼日時：2010/01/18 19:59

No.1 回答者： doc_sunday 回答日時： 2010/01/18 16:00

数学・物理でいえば「摂動法」がそれに当ります。

非常に小さい項を無視して解を出し、その解が無視しなかった方程式の解になるかどうかを調べます。
大概の場合、無視しても構わなかったという結果になりますが、相は行かなかった場合は、数値解でも良いので強引に解きます。

この回答へのお礼

なるほど、そうすれば近似してよかったのかが確認できますね。
解決しました。ありがとうございました。

お礼日時：2010/01/18 19:55