傾斜梁でもMmaxがwL^2/8となることの説明

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質問者：poppai
質問日時：2010/01/23 18:52
回答数：4件

この傾斜梁の等分布荷重の最大曲げモーメントが
水平梁の場合と同じwL^2/8である理由を説明していただけませんか？
(集中荷重の場合はPL/4となる理由に同じ)

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回答 (4件)

No.1ベストアンサー

回答者： cyoi-obaka
回答日時：2010/01/24 17:02

2代目cyoi-obakaです。

ご質問の内容から判断しますと、集中荷重の場合は理解出来るのですね？
集中荷重の場合は、点荷重ですから、単純に荷重をベクトル分解（Psinθ,Pcosθ）で荷重を部材軸に並行および垂直に変換すれば求まります。
貴方の回答通り、どちらもM=PL/4です。
では、等分布荷重の場合は？と申しますと、等分布荷重は面荷重（又は線荷重）ですから、ベクトル分解の次元が異なります。
要するに、重積分と考えるのが適当だと思います。
依って、ベクトル分解はＰ・sinθ・sinθ,Ｐ・cosθ・cosθと考えるのが妥当だと考えます。
この考え方で等分布荷重を部材軸に並行および垂直方向に分配すれば、Ｍ＝ωＬ2/８になる筈ですよ！
Ｍ＝ω・cosθ・cosθ・（Ｌ/cosθ)2/８＝ω・Ｌ2/８
以上です。私はこの様に理解していますが…………。

この回答への補足

ありがとうございます。
集中荷重も同じでなぜ斜材で材長が変わるのに
Mmaxはおなじ値になるのか？
と言うことでした。
重積分と言うのがよくわかりませんが
はじめ自分なりに斜材の長さに対して荷重をベクトル分解してやって見ました。
cosθ30°の斜辺で考えると
斜材の長さL´は（L・2/√3）
wの斜材への垂直方向の分解荷重ｗ´は（w・√3/2）
この値でwL^2/8に当てはめて
(w・√3/2)・(L・2/√3)^2/8
でやってみればOKなんだと思ってやってみましたが
wL^2/8になりませんでした…
ω・cosθ・cosθ・（Ｌ/cosθ)2/８
つまり
(w・√3/2・√3/2)・(L・2/√3)^2/8
だったんですね。
これだと確かにwL^2/8になりました。
なぜｗに√3/2をもう一個かけないとだめなんでしょうか（＾＾；

ちなみに作用線とモーメントの距離は変わらないという考え方では
理解しているのですがご回答のようにベクトル分解で理解したかったのですが結論に至りませんでした。
問題自体は二級建築士レベルの簡単な問題ですが
分析するとなかなか難しいです。

補足日時：2010/01/24 18:18

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No.2

回答者： cyoi-obaka
回答日時：2010/01/24 20:06

2代目です。

ウ～ン困りましたネ！
どのように説明すれば、判っていただけるでしょうか？　先代のcyoi先生だったら、上手に説明するのでしょうね～！

そうですね。このように解釈できませんか？
等分布荷重は荷重の連続なんです。
だから、一度だけのcosθでは任意の点の分解しか完了していないのです。
そこで、もう一度cosθを乗する事で連続の分解を完了するのです。
駄目かな？

では、等分布荷重のM図は、曲線で表現しますよね。
つまり、Mは2次方程式で表現出来るわけです。
集中荷重のM図は、直線で表現出来ますから、1次方程式です。
では、2次方程式で、X＾2を消去するためには、2度の微分が必要です。
1次方程式の場合は、1度の微分でxを消去出来ます。
私が、＃1で重積分と言ったのはこの事なのです。

以上ですが、何方かもっと明解な回答を付けてくれます事、期待します。

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この回答へのお礼

ありがとうございました。

感覚ではわかったようなわからないような。
sinθやcosθの微積分は苦手です。
しかも∬となるとちょっと厳しいっす。

ためしに1次方程式？になるであろう
集中荷重PL/4でやってみましたが
(P・√3/2)・(L・2/√3)/4
を計算をすると3PL/4
となってしまいます。
あれ～～？？

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お礼日時：2010/01/25 18:12