定積分∫[0~π/2]log{a^2(cos x)^2+b^2(sin

定積分∫[0~π/2]log{a^2(cos x)^2+b^2(sin x)^2}dxの回答をわかりやすく教えてください。お願いしますm(__)m

No.1 ベストアンサー 回答者： Ae610 回答日時： 2010/01/31 10:01

定積分∫[0～π/2]log{a^2(cos x)^2+b^2(sin x)^2}dx　　(a>0,b>0)

与式＝∫[0～π/2]log｛(a^2(cos x)^2)(1+(b/a)^2・(tanx)^2)｝dx
　　＝∫[0～π/2]log(a^2(cos x)^2)dx+∫[0～π/2]log((1+(b/a)^2・(tanx)^2)dx
　　＝2∫[0～π/2]log(a)dx+2∫[0～π/2]log(cos x)dx+∫[0～π/2]log(1+(b/a)^2・(tanx)^2)dx
　　＝πlog(a)－πlog(2)+∫[0～∞]log(1+(b/a)^2・t^2)/(1+t^2)dt
　　＝πlog(a)－πlog(2)+πlog(1+(b/a))
　　＝π(log(a)－log(2)+log(a+b)－log(a))
　　＝πlog{(a+b)/2}

・・・としてみたものの、ちと難しい。3項目の積分は多分(留数の定理・・？)を使って積分値を計算出来るとは思うが・・・？
一応公式集に3項目の定積分の値があったので利用した。

この回答へのお礼

細かく書いていただきありがとうございます。偏微分を使えば解けると聞いたので僕なりにもいろいろ考えて解いてみたいと思います。

お礼日時：2010/01/31 23:32