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図のような台車があります。坂はなだらかで壁の近くは水平になっている。重力加速度をg、質量m小球と質量Mの台車、台車と床の間に摩擦は無いものとする。
小球は台車のよりh高い所に位置している。
小球を静かに離すと坂を滑り降り壁に衝突する。
そのときの反発係数をe(<1)とする。速度は左向きを正とする。
・小球が衝突する直前の速度v、そのときの台車の速度Vとすると衝突直後の小球の速度v´は-ev、、台車の速度はV´=-eVとなるのは、どうしていえるのでしょうか。
e=-(V´-v)/(V-v)とあと何か条件が必要なのですか?
(床に速度uで衝突した小球が反発係数e(<1)で跳ね返った場合速さはeuとなるのはわかるのですがそれとおんなじと考えなのか)
・それが何回も繰り返されると全体が止まってしまうという過程が導けません。
衝突するたびにエネルギーが失われていくから?
・全体的な変位はいくらか(小球から壁までのキョリをdとする)
小球の変位をΔx、台車の変位をΔXとすると
mΔx+MΔX=0 ←これはどうやって出たの?
Δx-ΔX=d
ここから
∴Δx=Md/(M+m)、ΔX=-md/(M+m)
答えはmd/(M+m)となるのはわかりました。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
> e=-(V´-v)/(V-v)とあと何か条件が必要なのですか?
もう1つ必要なのは運動量保存ですね。
ご質問の文中にはありませんが、
初期状態は台車、小球とも速度0として
0 = mv + MV = mv' + MV'
が成り立ちます。
この運動量保存から、
V = -(m/M)v
V' = -(m/M)v'
となるので、これを
e = -(V' - v')/(V - v)
の式に代入することで
v' = - ev
が得られます。
> それが何回も繰り返されると全体が止まってしまうという過程が導けません。
衝突直後 v' = -ev , V' = -eV という速度で跳ねかえり、
斜面を登って戻ってきて2回目の衝突が起こる
直前の速度は ev , eV です。
すると、先程と同様に考えると2回目の衝突直後は
v" = -(e^2)v
V" = -(e^2)V
となります。
これを繰り返すと e < 1 ですから
十分な時間がたてば全体は止まります。
> 衝突するたびにエネルギーが失われていくから?
そういうことです。
e = 1 の(完全)弾性衝突のときのみエネルギーは保存します。
> mΔx+MΔX=0
も運動量保存からでてきます。
mv + MV = 0
⇔ m(Δx/Δt) + M(ΔX/Δt) = 0
ということです。
No.3
- 回答日時:
安易に走り水平と垂直に分けずに雑に説明したので嘘を書いてしまいました。
修正します。運動量保存も運動方程式からでますから
跳ね返り係数と運動方程式の2つからすべては求まります
何度も繰り返し衝突するとそのたびに台車と玉との間の相対速度は比率e(<1)だけ小さくなっていきます。
従って両者の相対速度は最終的には0になるのです。
そして台車が最終的に止まる事がいえれば玉も止まることになるといえるのです。
eが必要になるのは最初の問題だけで後の2つは玉と台車の相対速度が最終的に0になるという事実だけを拝借すれば必要有りません。
地上の固定点Oを任意に決めて玉の重心のOからの位置ベクトルをrとし台車のOからの位置ベクトルをRとし
rの垂直方向ベクトルをrvとし
rの水平方向ベクトルをrhとし
Rの垂直方向ベクトルをRvとし
Rの水平方向ベクトルをRhとし
重力加速度ベクトルをgとし
玉が台車から受ける力ベクトルをfとし
fの垂直方向ベクトルをfvとし
fの水平方向ベクトルをfhとし
台車が玉から受ける力ベクトルをFとし
Fの垂直方向ベクトルをFvとし
Fの水平方向ベクトルをFhとし
台車が地面から受ける力ベクトルをEとすると、
m(d/dt)^2r=mg+f(第2法則)
垂直方向では
m(d/dt)^2rv=mg+fv
水平方向では
m(d/dt)^2rh=fh・・・(1)
M(d/dt)^2R=Mg+F+E(第2法則)
垂直方向では
M(d/dt)^2Rv=Mg+Fv+E
水平方向では
M(d/dt)^2Rh=Fh・・・(2)
f+F=0(第3法則)
すなわち
fh+Fh=0・・・(3)
台車は垂直方向に動かないから
Mg+Fv+E=0
である。
(1)と(2)を足して(3)を使うと
(d/dt)^2(mrh+MRh)=0
すなわち玉と台車の重心の位置ベクトルをwとし
wの水平方向ベクトルをwhとすると
wh=(mrh+MRh)/(m+M)だから
(d/dt)wh=一定
初期状態で玉も台車もOに対して止まっているのだから
(d/dt)wh=0
すなわちwhは一定である。
すなわち重心は最初から最後まで水平方向に移動しないのである。
玉がrからr+dに移動し
台車がRからR+Dに移動すると
dの水平方向ベクトルをdhとし
Dの水平方向ベクトルをDhとしたとき
重心の水平方向成分は動かないから
(mrh+MRh)/(m+M)=
(m(rh+dh)+M(Rh+Dh))/(m+M)
である。
直ちにmdh+MDh=0がでる。
No.2
- 回答日時:
運動量保存も運動方程式からでますから
跳ね返り係数と運動方程式の2つからすべては求まります
何度も繰り返し衝突するとそのたびに台車と玉との間の相対速度は比率e(<1)だけ小さくなっていきます。
従って両者の相対速度は最終的には0になるのです。
そして台車が最終的に止まる事がいえれば玉も止まることになるといえるのです。
eが必要になるのは最初の問題だけで後の2つは玉と台車の相対速度が最終的に0になるという事実だけを拝借すれば必要有りません。
地上の固定点Oを任意に決めて玉の重心のOからの位置ベクトルをrとし台車のOからの位置ベクトルをRとし
重力加速度ベクトルをgとし
玉が台車から受ける力ベクトルをfとし
台車が玉から受ける力ベクトルをFとし
台車が地面から受ける力ベクトルをEとすると、
m(d/dt)^2r=mg+f(第2法則)
M(d/dt)^2R=Mg+F+E(第2法則)
f+F=0(第3法則)
mg+Mg+E=0(第3法則)
である。
最初の2式を足し後の2式を使えば
(d/dt)^2(mr+MR)=0
すなわち玉と台車の重心の位置ベクトルをwとすれば
w=(mr+MR)/(m+M)だから
(d/dt)w=一定
初期状態で玉も台車もOに対して止まっているのだから
(d/dt)w=0
すなわちwは一定である。
すなわち重心は最初から最後まで移動しないのである。
ところで先に述べた話によって玉と台車の相対速度は最終的には0になるのだから重心が動かないという事を加味すると最終的に台車も玉も止まるのである。
玉がrからr+dに移動し
台車がRからR+Dに移動すると重心は移動しないから
(mr+MR)/(m+M)=
(m(r+d)+M(R+D))/(m+M)
である。
直ちにmd+MD=0がでる。
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