ロピタルの定理の質問

ロピタルの定理の質問

以下の問題の解き方を教えてください。



lim X→π/2 {(1+tanX)/(－1+tanX)}^tanX


学校の宿題で出た問題です。
私が考えたのは両辺logをとる方針か、tanXをsinXとcosXに分解する方針なんですが、上手くいきません。
よかったらよろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/05/25 22:24

h = 1/tan x で置換したらよいのでは？

lim[x→π/2] { (1 + tan x)/(-1 + tan x) }^tan x
= lim[h→0] { (1 + 1/h)/(-1 + 1/h) }^(1/h)
= lim[h→0] exp log { (h + 1)/(-h + 1) }^(1/h)
= exp lim[h→0] (1/h){ log(1 + h) - log(1 - h) }
= exp lim[h→0] log(1 + h) - log(1) }/h + { log(1 - h) - log(1) }/(-h)

(d/dx) log x = 1/x を使って、

上式 = exp( 1/1 + 1/1 ) = e^2。

No.2 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/05/25 08:55

おはようございます。

ロピタルの定理を用いなくても、計算できそうな感じですが・・・

まず、x→π/2- 0のとき tan(x)→ +∞となりますね。そこで、tan(x)＝ tとおくことにします。
すると、
[{ 1+ tan(x) }/{ -1+ tan(x) }]^tan(x)
＝ { (1+t)/(-1+t) }^t
＝ { (1+1/t)/(1-1/t) }^t （★：{　}の中で分母・分子を tで割る）

この値を一度 Aとでもおくことにすると、
log(A)
＝ log((1+1/t)^t)- log((1-1/t)^t)
＝ log((1+1/t)^t)- log((1-1/t)^{(-t)*(-1)})
→ log(e)- log(e^(-1))＝ 2

よって、A→ e^2（x→π/2）

★のところで、ダイレクトに t乗を分母・分子にばらして計算してもいいですね。

x→π/2+ 0（右極限）を考えるときには、#1さんも書かれているとおり t＝ -sとでも置き直せばいいと思います。

No.1 回答者： aquatarku5 回答日時： 2010/05/25 06:19

y=tanXとおいて、対数をとると、

{(1+tanX)/(－1+tanX)}^tanX=y・log{(1+y)/(－1+y)}

y→+∞については、
lim_{y→+∞}{y・log{(1+y)/(－1+y)}
=lim_{y→+∞}{ylog(1+y)}-lim_{y→+∞}{ylog(－1+y)}　…（※）
=lim_{y→+∞}{log(1+y)／(1/y)}-lim_{y→+∞}{log(－1+y)／(1/y)}
　ここでロピタルの定理を適用
=lim_{y→+∞}{-y^2/(1+y)}-lim_{y→+∞}{-y^2/(－1+y)}
=lim_{y→+∞}[{-y^2(-1+y)+y^2(1+y)}/(1+y)(-1+y)]
=lim_{y→+∞}{2y^2/(y^2-1)}
=2

y→-∞については、t=-yとおいて、
lim_{t→+∞}{-tlog{(1-t)/(-1-t)}
=lim_{t→+∞}{-tlog{(t-1)/(t+1)}
=-lim_{t→+∞}{tlog(t-1)}+lim_{t→+∞}{tlog(t+1)}
　これは（※）と同じなので,
=2


以上から,コタエ=e^2