自然定数を底にしたときの、log(π) の 手計算での値は

自然定数を底としたとき、log π (=ln π）は、どのように評価できるでしょうか？
π＝3.1459・・・です。

少数第3位くらいまでの評価をしたいです。

No.3 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2024/03/17 14:58

No.2, タイトルに「手計算で」って書いてあるの、見落としました。

lnをテイラー展開
　　ln(1 + x) = x - x²/2 + x³/3 - x⁴/4 + x⁵/5 - .....
で計算しようと考える。πとeはかなり近い値なので、xを
　　π = (1 + x) e
とすれば0＜x＜0.2ぐらいになるだろうから、xのべき乗はどんどん小さくなっていく。というわけで、
　　ln(π) = 1 + ln(1 + x) = 1 + x - x²/2 + x³/3 - x⁴/4 + x⁵/5 - .....
を計算する。答を小数点以下3桁欲しいってことは、xは小数点以下4桁あれば足りるだろうから、
　　x ≒ 3.1416/2.7183 -1 = 0.1557
そして
　　x² ≒ 0.0242
　　x³ ≒ 0.0038
　　x⁴ ≒ 0.0006
もういいでしょう、ということで
　　ln(π) ≒ 1 + (0.1557) - (0.0242)/2 + (0.0038)/3 - (0.0006)/4
　　≒ 1.1447
を丸めて 1.145。

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2024/03/17 15:03

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/03/17 22:33

級数計算ではどの項まで取ればよいかの評価する必要が

ある。つまり解を見て評価してはいけません。

マクローリン展開は
　log(1+x)=x-x²/2+x³/3-(x⁴/4)/(1+θx)⁴
となり、#3さんの計算を使うと
　(x⁴/4)/(1+θx)⁴≦x⁴/4<0.00015
となって、x³の項まで取れば、少数第3位まで得られます。

この回答へのお礼

>解を見て評価してはいけません。

ご助言ありがとうございます。

お礼日時：2024/03/17 23:10

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2024/03/17 14:05

ln π = 1.144729885849400....

この回答へのお礼

ありがとうございます。
計算機ではなく、手計算で評価したく、途中の式をお願いしたいです・・・。

お礼日時：2024/03/17 14:07

No.1 回答者： angkor_h 回答日時： 2024/03/17 14:00

logの底は10、lnの底はe、と言うのが普通です。

ln3.1459=1.1461

この回答へのお礼

ありがとうございます。
計算機ではなく、手計算で評価したく、途中の式をお願いしたいです・・・。

お礼日時：2024/03/17 14:06