[(e^x)/(e^x+e^-x)]の積分

f[(e^x)/(e^x+e^-x)]dxの積分計算を教えていただけますでしょうか。
よろしくお願い致します。

No.4 回答者： naniwacchi 回答日時： 2013/04/09 12:36

昔の赤チャートさんでは、e^xで書かれた関数の積分(f(e^x)のタイプ)は e^x＝ uとおけ。

と書いてあったような。

e^x＝ uとおくと、e^x・dx＝ duとなるから
(与式)
＝ ∫e^x・dx／( e^x+ e^(-x) )
＝ ∫du／( u+ 1/u )
＝ ∫u／( 1+u^2 )・du

ここで u＝ 1/2* (1+ u^2) 'であるから
＝ 1/2* ∫(1+ u^2) '／(1+ u^2)・du

∫ f '(x)/f(x)・dx＝ log|f(x)|+ Cの準公式を用いて
＝ 1/2* log|1+u^2|+ C

1+ u^2＝ 1+ e^(2x)＞ 0である。
よって、(与式)＝ 1/2* log( 1+ e^(2x) )+ C（Cは積分定数）

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2013/04/09 10:53

#2です。

変数tをxに戻すのを忘れましたので、A#2の最後に以下を追加してください。

>=(1/2)log(e^t+1) +C　(Cは積分定数,logは自然対数)
=(1/2)log(1+e^(2x)) +C

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2013/04/09 10:45

I=∫(e^x)/(e^x+e^(-x))dx

分子・分母にe^xを掛けて
I=∫(e^(2x))/(e^(2x)+1)dx

2x=tとおくと 2dx=dt → dx=(1/2)dt
I=(1/2)∫(e^t)/(e^t+1)dt
=(1/2)∫(e^t)'/(e^t+1)dt
=(1/2)log(e^t+1) +C
(Cは積分定数,logは自然対数)

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2013/04/08 23:37

こんばんわ。

fというのは、積分記号のことですか？
「せきぶん」と入力して変換すると、「∫」が表示できると思います。

で、いまの問題ですが、e^x＝ uとでもおいて置換してみてください。
比較的簡単な計算にすることができます。