No.2ベストアンサー
- 回答日時:
下記議論はm<<Mのときにしか成り立たない。
以下m<<Mの仮定をしないでもよい場合を示す。
一つの慣性系を選びその原点Oを選ぶ。
質量mの質点のOからの位置ベクトルをrとし
質量Mの質点のOからの位置ベクトルをRとし
万有引力定数をGとすると
万有引力の法則と運動の第2法則により
mr”=-mMG(r-R)/|r-R|^3
MR”=-mMG(R-r)/|R-r|^3
すなわち
r”=-MG(r-R)/|r-R|^3
R”=-mG(R-r)/|R-r|^3
片々引いて
(r-R)”=-G(M+m)(r-R)/|r-R|^3
ここで原点をRにおくと
r”=-G(M+m)r/|r|^3
となる。
すなわち1においてMをM+mに修正しなければならない。
Rを原点にするということはこの座標系は非慣性系で有ることを忘れてはならない。
(慣性系から見ると原点は振られている。)
No.3
- 回答日時:
質量Mの物体が原点にあり、位置(x, y)にある質量mの物体が質量Mの物体から万有引力を受けて運動しているとき、デカルト座標で運動方程式を書けば、
m x"=-(G Mm x)/(x^2+y^2)
m y"=-(G Mm y)/(x^2+y^2)
ただし、ここで、x"=dx^2/dt^2、y"=dy^2/dt^2 としました。次に極座標(r, θ)に変換します。
x=r cosθ
y=r sinθ
x'=r'cosθ-r sinθθ'
y'=r'sinθ+r cosθθ'
ここでも、x'=dx/dt、y'=dy/dt、r'=dr/dtd、θ'=θ/dt としています。
もう一度 t について微分すると、
x"=r"cosθ-r'sinθθ'-r' sinθθ'-r cosθ(θ')^2-r sinθθ"
={r"-r(θ')^2}cosθ-{2r'θ'+rθ"}sinθ
y"=r"sinθ+r'cosθθ'+r'cosθθ'-r sinθ(θ')^2+r cosθθ"
={r"-r(θ')^2}sinθ+{2r'θ'+rθ"}cosθ
また、r"=dr^2/dt^2、θ"=d^2θ/dt^2 としています。
x/(x^2+y^2)=cosθ/r、y/(x^2+y^2)=sinθ/r
ですから、運動方程式を
m[{r"-r(θ')^2}cosθ-{2r'θ'+rθ"}sinθ]=-(G Mm cosθ)/r・・・(a)
m[{r"-r(θ')^2}sinθ+{2r'θ'+rθ"}cosθ]=-(G Mm sinθ)/r・・・(b)
と書き換えることができ、(a)×cosθ+(b)×sinθ、(b)×cosθ-(a)×sinθ によって極座標での運動方程式
m{r"-r(θ')^2}=-(G Mm)/r
m(2r'θ'+rθ")=0・・・(c)
が導かれます。ところで、原点の周りの角運動量 L は、
L=m(xy'-yx')
ですから、極座標で表すと、
L=m[rcosθ(r'sinθ+r cosθθ')-rsinθ(r'cosθ-r sinθθ')]=m r^2 θ'
ですが、(c)により、
L'=m(2rr'θ'+r^2θ")=mr(2r'θ'+rθ")=0
を得ますので、角運動量 L は保存することがわかります。ここでもL'=dL/dtを用いました。
No.1
- 回答日時:
ニュートンの世界は3次元なので2次元で考えても余り説得力がないので3次元で示します。
mx”=-GmMx/(x^2+y^2+z^2)^(3/2)
my”=-GmMy/(x^2+y^2+z^2)^(3/2)
mz”=-GmMz/(x^2+y^2+z^2)^(3/2)
です。
極座標で表すよりも質量mの物体の位置を質量Mの物体からの位置ベクトルで表す方が簡単になります。
mr”=-GmMr/|r|^3
すなわち
r”=-GMr/|r|^3
です。
×を外積として
r×(mr”)=-GmMr×r/|r|^3=0
(同じ方向のベクトルの外積は0だから)
ところで
(r×r’)’=r×r”+r’×r’=r×r”
だから
(r×(mr’))’=r×(mr”)=0
よって
r×(mr’)=一定
これが原点の周りの角運動量保存を示しています。
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