数IIIの積分法なんですが置換積分と部分積分法の公式のどっちを使って問題と

数IIIの積分法なんですが置換積分と部分積分法の公式のどっちを使って問題とくかわかりません。問題のどの部分を見てどちらの公式を使うか教えて下さい。

No.3 ベストアンサー 回答者： osn3673 回答日時： 2010/06/29 01:23

まず置換積分できるか調べましょう．このためには被積分関数を二つの関数の積と考え，一方の関数が他方の関数の原始関数の関数になっていれば置換積分が使えます．すなわち，被積分関数を f(x)g(x) と表したとき，G'(x)=g(x) である G(x) を用いて f(x)=h(G(x)) となる関数 h(u) が見つかれば

∫f(x)g(x)dx = ∫h(G(x))G'(x)dx = ∫h(u)du
です．例えば
(log 2x)/(x log x^2) = h(log x){log x}'
h(u) = (u + log 2) / 2 u = 1/2 + (log 2)/2u
だから
∫(log 2x)/(x log x^2)dx = (1/2){log x + (log 2)log(log x)} + C
となります．
置換積分がダメそうなら部分積分できるか調べましょう．概してこちらの方が調べるのが面倒です（とくに漸化式を使う場合）．

No.6 回答者： osn3673 回答日時： 2010/06/29 19:00

ANo.3 の補足です．

被積分関数を h(G(x))G'(x) と考えれば ∫h(u)du の計算に帰着します．
つまり h(u) の原始関数 H(u) を求められないなら置換積分を放棄することです．

ANo.４ の sanori さんのアドバイスの関連事項
１．f(x)g(x) = x e^x で G'(x) = e^x，G'(x) = x としても
∫log u du，∫exp±√(2u)du の計算になるので置換積分はあきらめる．
２．一般に ∫f(b^2 - x^2)dx で x = b sin t とおいてもうまくいくとは限らないので
∫h(sin^{-1}(x/b))/√(b^2 - x^2)dx = H(sin^{-1}(x/b)) + C を公式として覚える．
そして，上式の右辺を計算できなければ置換積分の適用をあきらめる．
例．∫1 / √(1 - x^2) dx = ∫(sin^{-1}x)^0 / √(1 - x^2) dx = sin^{-1}x + C
以下の変形についても同様．
∫h(b^{-1}tan^{-1}(x/b))/(x^2 + b^2)dx = H(b^{-1}tan^{-1}(x/b)) + C
∫h(log |x + √(b^2 + x^2)|)/√(b^2 + x^2)dx = H(log |x + √(b^2 + x^2)|) + C

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2010/06/29 16:41

積分術は、職人技の世界だからね。

誰に訊いても「経験を積めば、勘が働く」
以上の答えは、期待できそうにない。
実際、今回の No.1～3 もそうなっている。
No.4 のような散発的なバターンを
自分で集めていくしかなかろう。
網羅してマニュアルにできるような
ものでは決してないし。

No.4 回答者： sanori 回答日時： 2010/06/29 03:32

こんにちは。

Ｎｏ．１の info22 さんの数学での投稿内容には、いつも感服させられています。
ベストアンサー率は驚異的で、ご回答内容も正確です。ものすごく優秀な人と推察します。
ですので、今回のご質問に関しては、info22 さんのご回答を最も信用するべきと思います。

私からも、ちょっとだけアドバイスを。
高校レベルの積分問題ですと・・・
１．
ｘｅ^x　のような形や　ｘlogｘ　のような形がよく出てきます。
そのような場合は、部分積分です。

２．
ａ／√（ｂ^2　－　ｘ^)　のような形だと、置換積分になることが多いです。

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2010/06/29 00:03

両方やってみて

(1)片方ができて片方ができなかった。→出来た理由とできなかった理由を考え、データベースとする。
(2)両方できた。→簡単にできたほうの理由を考え、データベースとする。
(3)両方できなかった。→公式集で解法を探す。または高度な方法を模索する。

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2010/06/28 23:52

積分公式一覧を暗記し、両方のタイプの置換法や部分展開法などの演習問題を数こなして定石を覚え経験を積めば分かるようになるかと思います。