(1)a=［1 1 ］

(1)a=［1 1 ］
　　　 ［0 1 ］としたとき，a^nをいくつかのｎで計算して，一般のｎ（正負とも）について，その形を証明せよ。
(2)b=［1 1 1］
　 　 ［0 1 1］
　 　 ［0 0 1］ としたとき，b^nをいくつかのｎで計算して，一般のｎ（正負とも）について，その形を証明せよ。
(3)c=［1 1 1 1］
　　　［0 1 1 1］
　 　　[0 0 1 1］
　　 ［0 0 0 1］としたとき，c^nをいくつかのｎで計算して，一般のｎ（正負とも）につい　　　　　て，その形を証明せよ。
(4)D=［cosφ　　-sinφ］
　　 　［sinφ 　　cosφ］としたとき，D^nをいくつかのｎで計算して，一般のｎ（正負とも）につい　　　　　て，その形を証明せよ。
(5)G=［cosθ　 　sinθ］
　　　 ［sinθ 　-cosθ］としたとき，G^nをいくつかのｎで計算して，一般のｎ（正負とも）につい　　　　　て，その形を証明せよ。
(1)については，a^n=［1 ｎ］
　　　　　　　［0 1 ］がわかり，数学的帰納法で，a^n+1のときも出したのですが，証明の書き　　　　　　　　　　方に自信がありません。
(2)については，b^2=［1 2 3 ］c^3=［1 3 6 ］
　　　　　　　［0 1 2 ］ ［0 1 3]
　　　　　　　［0 0 1 ］ ［0 0 1］という風に，b^4，ｂ^-1，b^-2，b^-3あたりを計算したのですが，規則性がどうしてもわかりません。
(3)についても，c^2=［1 2 3 4］c^3=［1 3 6 10］
　　　　　　　［0 1 2 3］ ［0 1 3 6］
　　　　　　　［0 0 1 2］ ［0 0 1 3］
　　　　　　　［0 0 0 1］ ［0 0 0 3］という風に，c^4，c^-1，c^-2，c^-3あたりを計算したのですが，規則性がどうしてもわかりません。
(1)は，証明(数学的帰納法)の書き方を，(2)(3)については，一般のｎを，(4)(5)については，最初から教えてもらえませんか。よろしくお願いします。 　　　　　　　

No.4 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/07/02 22:05

(5)について：

G^2 = E_2 であることを、成分計算で示せば十分では？
G^(2k) = (G^2)^k = (E_2)^k = E_2.
G^(2k+1) = G G^(2k) = G E_2 = G.

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2010/06/30 23:43

例えば、(1) であれば、二項定理に従って

a^n = (E_2 + N_2)^n = Σ[k=0…n] (nＣk)(N_2)^k となる。
(N_2)^2 = Ｏ であることから、k ≧ 2 に対して (N_2)^k = Ｏ。
よって、a^n = (nＣ0) E_2 + (nＣ1) N_2 であると判る。

この回答への補足

（５）ですが，g^nでｎが奇数の時，[cosθ　sinθ]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[sinθ　-cosθ]
ｎが偶数の時[１　０]
　　　　　　　　[０　１]
となるのでよいのでしょうか？
そうすると，証明の仕方がわからないのですが教えてもらえませんか？　　

補足日時：2010/07/01 23:26

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2010/06/30 22:38

(1)(2)(3) では、帰納法は要らないかも。

［1 0］
［0 1］= E_2

［0 1］
［0 0］= N_2

［1 0 0］
［0 1 0］
［0 0 1］= E_3

［0 1 0］
［0 0 1］
［0 0 0］= N_3

［1 0 0 0］
［0 1 0 0］
［0 0 1 0］
［0 0 0 1］= E_4

［0 1 0 0］
［0 0 1 0］
［0 0 0 1］
［0 0 0 0］= N_4

と置くと、

a = E_2 + N_2,
b = E_3 + N_3 + (N_3)^2,
c = E_4 + N_4 + (N_4)^2 + (N_4)^3.

あとは、多項定理による展開。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85% …

(4) は、回転を表す行列。
(5) は、線対称移動を表す。

この回答への補足

ありがとうございます。
a = E_2 + N_2,
b = E_3 + N_3 + (N_3)^2,
c = E_4 + N_4 + (N_4)^2 + (N_4)^3.
までは，できました。
この後，多項定理をどう使ったらよいのでしょうか？教えてください。

補足日時：2010/06/30 23:02

No.1 回答者： noname#113983 回答日時： 2010/06/30 20:45

はあ？数学的帰納法の証明の仕方くらい教科書にあるだろ。

(2)も(3)も同じ。ひたすら計算
(4)の行列式はある(x,y)の点を反時計回りにΘ回転させる作要素をあらわすんだよ。
(5)は(4)の逆回り。
そしたら(4)(5)については行列をかけることによって分かるだろ。
ちなみに答えはΘをnΘにするだけ。