F(t)=(1+t)^2/(1-t^2t^3)=Σ(n=0～∞)(a_

F(t)=(1+t)^2/(1-t^2t^3)=Σ(n=0～∞)(a_n)ｔ^nで(a_n)を定義する。
(a_n)の規則性を調べよ。
また，下記の表を作って，(ａ_ｎ)/(a_(n＋1))と「F(t)の分母=0」との関係を調べてみよ。

ｎ　　(a_ｎ)　　(a_(n+1)/a_n)
・　　　・　　　　　　・
・　　　・　　　　　　・
・　　　・　　　　　　・
・　　　・　　　　　　・

難しくて分からないので詳細に教えてもらえたらと思います。よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： muturajcp 回答日時： 2010/07/10 03:36

t^2t^3=t^5ならば

F(t)=(1+t)^2/(1-t^5)
=(1+2t+t^2)Σ_{k=0～∞}t^{5k}
=Σ_{k=0～∞}(t^{5k}+2(t^{5k+1})+t^{5k+2})
=Σ_{n=0～∞}(a_n)t^n
a_{5k}=1
a_{5k+1}=2
a_{5k+2}=1
a_{5k+3}=0
a_{5k+4}=0
n (a_n) (a_(n+1)/a_n)
5k , 1 , 2
5k+1 , 2 , 1
5k+2 , 1 , 0
5k+3 , 0 , 不定
5k+4 , 0 , ∞

この回答への補足

すいません。問題文に間違いがありました。(1-t^2-t^3)です。

補足日時：2010/07/10 11:56

No.5 回答者： pascal3 回答日時： 2010/08/17 23:44

> 難しくて分からないので詳細に教えてもらえたらと思います。

どこまで分かったか書かずにそういうことを言うと
「『分からない』は『考える気がない』の間違いじゃないか？」と言われますよ。

もし、そう言われたくないんだったら、まずはどこまで分かったかを書いてください。

Σの意味（a_0 + a_1 t + …）は分かっていますか？

a_0 は自力で求めてみましたか？ （両辺に t=0 を代入すればよい）

a_1 の求め方は分かりますか？ 求めてみましたか？

まずは上記のことを書いてください。 教えるのはそのあとです。

No.4 回答者： muturajcp 回答日時： 2010/08/15 03:44

F(t)=(1+t)^2/(1-t^2-t^3)

=(1+t)^2Σ_{j=0～∞}(t^2+t^3)^j
=(1+t)^2Σ_{j=0～∞}t^{2j}(1+t)^j
=Σ_{j=0～∞}t^{2j}(1+t)^{j+2}
=Σ_{j=0～∞}t^{2j}Σ_{k=0～j+2}(j+2)Ckt^k
=Σ_{j=0～∞}Σ_{k=0～j+2}(j+2)Ckt^{k+2j}
=Σ_{n=0～∞}Σ_{(n-2)/3≦j≦n/2}(j+2)C(n-2j)t^n=Σ_{n=0～∞}a_nt^n

a_n=Σ_{(n-2)/3≦j≦n/2} (j+2)C(n-2j)
=Σ_{(n-2)/3≦j≦n/2} (j+2)!/((n-2j)!(3j+2-n)!)

n,(a_n),(a_(n)/a_(n+1)),1-(a_(n)/a_(n+1))^2-(a_(n)/a_(n+1))^3
0,　1　,0.5 , 0.625
1,　2　,1　　　　　　　,-1
2,　2　,0.66666　　　　, 0.259
3,　3　,0.75　　　　　 , 0.0156
4,　4　,0.8　　　　　　,-0.152
5,　5　,0.714　　　　　, 0.125
6,　7　,0.77777　　　　,-0.0754458
7,　9　,0.75　　　　　 , 0.015625
8, 12　,0.75　　　　　 , 0.015625
9, 16　,0.7619　　　　 ,-0.0227837
10, 21　,0.75　　　　　 , 0.015625
11, 28　,0.75675　　　　,-0.006
12, 37　,0.7551　　　　 ,-0.0007
13, 49　,0.75384　　　　, 0.0033
14, 65　,0.7558　　　　 ,-0.003
15, 86　,0.75438　　　　, 0.001582
16,114　,0.75496　　　　,-0.000287
17,151

No.2 回答者： noname#114871 回答日時： 2010/07/08 15:57

しっかりと書け！(1-t^2t^3)はなんだ？1-t^5なのかそれとも1-t^(2t^3)なのか？

それからanが知りたいなら・・・展開を用いて計算すること。・・・は自分で考えよ。

この回答への補足

すいません。(1-t^2-t^3)です。

補足日時：2010/07/09 19:56

No.1 回答者： f272 回答日時： 2010/07/08 10:21

F(t)=(1+t)^2/(1-t^2t^3

この辺まで見ると考える気が失せてくる。t^2t^3ってのはt^5のことか？

それはさておき，分からなくてもともかくa_1,a_2,a_3をまず求めて見ることです。そうすれば何かひらめくかもしれない。

この回答への補足

すいません。(1-t^2-t^3)です。

補足日時：2010/07/09 19:57