群数列の問題がわかりません。どなたか教えてください… 【問題文】 1から順に自然数を並べて, 下のよ

群数列の問題がわかりません。どなたか教えてください…

【問題文】
1から順に自然数を並べて, 下のように1個,2個,4個,……となるように群に分ける。
ただし、第n群が含む数の個数は2^n-1個である。
→第n群に含まれる数の総和を求めよ。

【わからないこと】
・末項までの項の総数を求めるのに、なぜ総和を求めるΣの式を使うのか
・Σの式の展開の仕方がわからない
・等差数列の和の式の展開がわからない

No.2 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2022/03/28 20:48

初項 a、公差 d、項数ｎの等差数列の和の公式

S=(1/2)n{2a+(n-1)d}

初項 a、公比ｒ、項数ｎの等比数列の和の公式
S=a(r^n －1)/(r－1)

第1群、第2群、第3群、…、第(n-1)群に含まれる項の数は、それぞれ、
1個、2個、4個、…、2^(n-2) 個です。
よって、第(n-1)群の末項までの項の総数は、
1+2+4+…+2^(n-2)

Σを用いて表すと、
1+2+4+…+2^(n-2) =Σ[k:1→n-1] 2^(k-1)

これは、初項１，公比２、項数 n-1 の等比数列の和なので、
公式により、
1{2^(n-1)-1}/(2-1)=2^(n-1)-1

第ｎ群の数は、
初項 2^(n-1)、公差１，項数 2^(n-1) の等差数列なので、その総和は、
公式により、
(1/2)・2^(n-1)[2・2^(n-1)+{2^(n-1) -1}・1]
=2^(n-2){2・2^(n-1)+2^(n-1) -1}
=2^(n-2){3・2^(n-1)-1}

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/03/28 20:06

1からの n群の最後の数までの個数は

　1+2+…+2^(n-1)=(2^n) - 1
したがって、n群の最初の数は　2^(n-1)、最後の数は　(2^n)-1

これらの和を
　Σ[k=2^(n-1), (2^n)-1] k
　　=Σ[1, (2^n)-1] k - Σ[1, k=2^(n-1) - 1] k
　　={(2^n)-1}(2^n)/2 - {2^(n-1) - 1}{2^(n-1)}/2
　　=2^(n-1){ (2^n)-1 - 2^(n-2) + 1/2 }
　　=2^(n-1){ (2^n) - 2^(n-2) - 1/2 }