パチンコの平均継続回数の計算方法はａ％の継続率だとすると1/（1-a）

パチンコの平均継続回数の計算方法はａ％の継続率だとすると1/（1-a）ですが、これは感覚的にも数学的にも理解できます。
ですが、他の方法で、例えば数列をもちいて数学的に計算することはできますか？
自分が思ったのは１回の継続の時の期待値は１×a、２回の継続の時は２×a×a、３回の継続の時は３×a×a×a、…と計算していきn回継続までの期待値の合計を求め、nを無限まで飛ばせばそれが平均継続回数だと感じました。でも実際計算してみると∞×０がでてしまい解を持たなくなります…
この方法ではだめみたいなのですがこれはいったい何をもとめてしまっているのでしょうか…？

No.1 回答者： Charlie24 回答日時： 2010/07/09 09:45

> １回の継続の時の期待値は１×a、

これは1回で終わった場合の大当たり回数×確率でしょうか？
そうすると、2回目に継続せずに1回目の大当たりで終わったのですから、1×（1-a）では？

> ２回の継続の時は２×a×a、

同様に、1回継続し、2回目で継続しなかったのですから、2×a×（1-a）、となるので、

k回目で終わった場合は、k×a^（k-1）×（1-a）。

よって期待値は、
S=?n×a^（n-1）×（1-a）　　（n=1～∞）
あとの計算は省略。

> これはいったい何をもとめてしまっているのでしょうか…？

うーん、何を求めているのでしょうか…ひとまず、自分の式で（1-a）としているところがaなので、
1回継続のところであれば、1回より多く継続する確率を求めていませんか？
まあそれに大当たり回数をかけても何か意味がある数字にたどりつきそうもありませんが。

No.2 回答者： Charlie24 回答日時： 2010/07/09 10:08

すみません。

文字化けしているようで。

”よって期待値は、”のあとですが、?のところはシグマです。