これって正しい？

Question

これって正しい？

ある事柄があります。

0＝1ならば1＝2である。

これって（a=bならばa+c=b+cである。）を元に両辺に同数を足しても式は成り立つから、と証明できますよね。でもこの事柄は正しいのでしょうか、正しくないのでしょうか。

またこれに関連して、「証明できる」ということと「正しい」ということは違うのでしょうか

教えてください。

yespanyong · Accepted Answer

論理学上「ＡならばＢである」という命題はＡが偽ならば必ず真になります。
ＡとＢが全く関連性のないものであっても成立しますし、Ｂがとんでもなく有り得ないことであっても成り立ちます。
感覚的には到底納得できないかもしれませんが、そういうことにしないと論理学の体系が破綻します。

とにかく、そういうものなのだと思っておきましょう。

alice_44 · Answer

証明論のややこしい話をすると、実は、
「証明できる」ことと「正しい」ことは違うのですが、
「0＝1ならば1＝2である。」は、その例ではありません。
「0＝1ならば1＝2である。」は、正しく、しかも、証明できます。

「0＝1ならば1＝2である。」が正しいかどうかと、
「1＝2である。」が正しいかどうかの間には、何の関係もありません。
なぜなら、「0＝1ならば1＝2である。」と「1＝2である。」は、
全く別の命題だから…というのが、カラクリといえばカラクリかな。

「ＰならばＱである。」は、「ならば」の定義により、
「Ｑである。または、Ｐでない。」の略記に過ぎないので、
No.1 ～ 4 諸氏の通りの結論になるのです。
「1＝2または0≠1」が正しいか否かに、疑問はありませんね？

boiseweb · Answer

もしかして，こう言えば納得してもらえるのでは…

「0=1ならば1=2である」という『文全体』は，（形式論理学の立場では）正しいです．
でも，だからといって，「1=2である」が正しいとは誰も言っていません．

「0=1ならば1=2である」という文自体を正しいと言おうと言うまいと，それを根拠に「1=2である」は正しいと主張することは誰にもできません．だから，「0=1ならば1=2である」という文自体を「正しい」と言ったからといって，それで別に誰も困らないから，そのことに文句を言う必要はないのです．

========

「pならばqである」という主張は，「pである」という事実とセットにすれば，それらから「qである」という新たな事実を導き出せる，という効力を発揮します．だから，「pである」という主張が真になる可能性があるときは，「pならばqである」という文を「正しい」と言い張るためには，「pが真の場合には必ずqは真」であるという確証を得ている必要があります（「pが真なのにqが偽」という状況が起こったら論理破綻してしまいます）．

でも，最初から「pである」という主張が偽であることが確定していたら，「pならばqである」という主張を付け加えても，新たな事実は何も出てきません．だから，「pならばqである」という文を「正しい」と言い張っても，破綻をきたす心配はないわけで，それなら「pならばqである」という文そのものを「正しい」と言おうと「誤り」と言おうと，どっちでもいい（誰も文句を言う理由がない）わけです．

そうなんだけれど，形式論理学では，「pである」が偽と確定しているときには「pならばqである」という文自体は「真」と約束しておくほうが，実はいろいろと都合がよいので，そうしているのです．
実際，そう約束することで，「0＝1ならば1＝2である」という文が「正しい」という事実は，「両辺に同数を足す論法で得られるから『正しい』」という説明と符合するでしょう？

kentarou2333 · Answer

例えば、男性に対して、

「あなたが女性だったら、私は死んでもいい」

と言ったとしましょう。

性転換とかいうのを除けば、後半を本当のことにできます。

つまり、あり得ない前提をつければ、
何を言っても、本当の事にできるわけです。

ちゃんとした論理学でも、あり得ない前提（矛盾した公理系）の中では、
なんでも証明できるという有名な話があります。

Anti-Giants · Answer

命題は「0=1ならば1=2]は真です。
なぜなら、0=1ではないからです。
0=1という状況があり得ますか？
そのような状況があって初めて1=2を吟味するのです。
この命題は「0=1ならば1=2,0≠1ならば満たすべき条件は無い（つまり、すべて真）」といっているのです。

もし通常の0,1,2の定義ではないとすれば、話は別ですが・・・。

これって正しい？

論理学上「ＡならばＢである」という命題はＡが偽ならば必ず真になります。

証明論のややこしい話をすると、実は、

もしかして，こう言えば納得してもらえるのでは…

例えば、男性に対して、

命題は「0=1ならば1=2]は真です。

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