円周率の求め方。

Question

円周率の求め方。
半径1の円、Ｘ＾２＋Ｙ＾２＝１の積分の答えが、πになると
思うのですが、この積分はどうやってするのでしょうか？
置換積分でしょうか？

もう一つお聞きしたいのですが、積分や、対数、その他、数式は、キーボードでは、
打ち込みにくいのですが、色んな数式書き込み用のソフトなんかが
あるのでしょうか？

よろしくお願いします。

ticky · Accepted Answer

他の方も仰っているように、
πを含む解になってしまいます。

πを求めるには、
いろんなやり方がありますが、

円の面積やら、円周やらを近似して求めたりします。

わかりやすい方法としては、
モンテカルロ法
を使った乱数による近似があります。
参考URLに参考となりそうなページを張ったので、ごらんください。

或は、積分で求めるなら、
多n角形の面積による近似が考えられます。

例えば、単純に言えば、
1. 円に内接する多n角形の面積
2. 円の面積
3. 円に概説する多n角形の面積
はn→∞で
円の面積に収束します。

別に多n角形を使わずに、
円の中を任意の多角形で埋めて行く方法もあります。

alice_44さんの近似は、
・πを使わずに数式をたてる
・それを近似する式をたて、近似する
というまた別の方法をとっています。

----
数式の打ち込みですが、
1. 一太郎やワード、OOo等のワープロソフトの機能を使う
2. TeX、および、TeX支援ツールを使い、PDFなり、画像なりに書き出す。例えば、Macだと、LaTeXiTというソフトウェアがあります。
3. 数学のあれこれを支援するツールを使う。MacだとGrapher.appが標準搭載です。
の選択肢があります。(Macの例ぐらいしかあげられなくてごめんなさい>_<; )

学術分野でのTeXの地位は不動なもので、将来理工系に進む可能性があるならば、学んでおいて損はしません。
簡単にやるなら、1が便利です。

参考URL：http://hp.vector.co.jp/authors/VA014765/pi/montecalro.html

lineage_of_kei · Answer

タイトルと質問で他の回答者さんも迷っておられますが、私も積分結果がπであることを導きたいということだと思って書き込みます。

ちょっと弧度法を勉強した中学生が出来る方法～

方程式から図形をイメージできる場合は無理に積分しなくてもいいじゃないかというのが書き込みの意図です。

半径1の円をホールケーキをわけるように円の中心から放射状に、等間隔に切れ目を入れてn個の扇形をつくる。

扇形：　半径1,中心角2π/n

ものすごくnの値を大きなものにすれば、扇形は底辺１、高さ＝弧長＝2π/nの三角形に近似でき、

扇型の面積＝1/2×1×2π/n＝π/n

です。これがn個集まって完全な円になるわけですので

円の面積＝扇型がn個の面積＝π

というようにもできます。
まぁ、計算練習として、パラメータ置換で極座標に書き換えた積分をするのに個人的に1票です（笑

ついでに数式打ち込みですが、Microsoftのワードならオブジェクトというところに数式エディタが入ってますよ。

alice_44 · Answer

A = ∫∫[x^2+y^2≦1] dy dx は、極座標変換(置換積分のひとつ)をすれば、
A = ∫∫[0≦r≦1, 0≦θ＜2π] r dr dθ = π と計算できます。

多変数の置換積分が不慣れなら、∫dy = y = ±√(1-x^2) を使い、
A = 2∫[-1≦x≦1] √(1-x^2) dx のように変形してから、
x = sinθ などで置換積分してもよい。

ただし、これらの方法で判るのは、単位円の面積は π だ
…という自明な結論だけです。
π の値を求めるためには、逆に、これらの積分の値を数値計算して、
近似値を出す必要があります。

例えば、A = 4∫[0≦x≦1] √(1-x^2) dx とするのであれば、
∫[0≦x≦1] √(1-x^2) dx ≒ Σ[k=1,2,…,n] √{1-(k/n)^2} (1/n) とか。
n は、テキトーに大きい自然数を採ります。

spring135 · Answer

質問の趣旨が
(1)円周率を求めたいというのか、
(2)Ｘ＾２＋Ｙ＾２＝１の積分をやって答えがπであることを確かめたいのかで
方法は変わってきます。

(1)をパソコンレベルで気楽にやるには
π^2/6=lim(n→∞）Σ(i=1,2,   n)(1/i^2)
が好いでしょう。n=100位でも結構いい結果が出ます。
または
π^4/90=lim(n→∞）Σ(i=1,2,   n)(1/i^4)
はもっと収束が早いです。収束というのは計算機で追える精度で12ケタぐらいは一瞬でできます。

(2)は置換積分をやってみればπになりますが、π＝3.14159265358979.......という数値が得られるわけではありません。
数値積分でたとえばx=0～1を100個に等分割して台形公式(シンプソンの式)を使って計算すると一番ｘの大きいところ（x=0.99～1.00）の部分で大きな誤差が出て多分５桁目ぐらいで誤差が出てくるでしょう。

精度の高い、収束の速い公式を見つけて計算をするのは結構楽しめます。数値計算の感覚も身につくのでぜひいろいろな公式でやってみてください。

数式はWORDの数式Editorが一番手っ取り早いでしょう。
挿入→オブジェクト→Microsoft数式3.0
で呼び出せます。
添え字や積分の範囲の表示など、ある程度練習するといいでしょう。

windwald · Answer

y=√(1-x^2)
とおいて積分区間x=-1からx=1まで積分で良いかと。ただしこの定積分の値はπ/2になる。
なぜならy>=0となるx^2+y^2=0のグラフとx軸で囲む面積、すなわち半円分だから。
で、これはy軸に対称だから、積分区間をx=0からx=1までとして2倍しても良い

数式の入力は、このQ&Aの投稿のようなプレーンテキストしか扱えないところでは
プログラム言語などで一般的な数式の書き方をまねることが多いです。
ただ、プログラムではないので、平方根をとるのにsqrtとは書かずに√を使って表すことが多いですが。
(日本語以外の環境ではどうしてるんだろう)
手書き数式と違い、どこまでがルートの中身か分からなくなりますから、手書きなら不要なところでも括弧が必要です。
分数でも同じで、「x引く二分の一」はx-1/2、二分の"x-1"は(x-1)/2と表します。

文書作成時だと、ワープロソフトでは一太郎などには数式エディタがありますからこれを使います。中高の教員ではstudyaidというソフトを使って数式作成をする人が多いです。
またこのほかに、TeXやLaTeXなどを用いる方法もあります。

なお、そのどれもが使用するソフトウェアに依存しますので、相手方にソフトがない場合、
印刷物を作るかpdfファイルなどにするしか数式の形として渡すしかありません。
それらソフトで数式を作ってこのQ&Aに投稿するのなら、数式を画像にして保存し、
画像添付するしかありません。

Mr_Holland · Answer

Ｘ＾２＋Ｙ＾２＝１　から　第1象限だけに注目するとYはXの関数となり　次のように表されます。
　　Y=√(1-X^2)

ここで第1象限の1/4円の面積を求めると次のようになります。
　　∫[0→1] √(1-X^2)dX
= ∫[0→π/2] √{1-(sinθ)^2} cosθ dθ　　（X＝sinθと置換。　dX=cosθ dθ　X=0のときθ=0,X=1のときθ=π/2）
= ∫[0→π/2] (cosθ)^2 dθ
= ∫[0→π/2] {1+cos(2θ)}/2 dθ
= π/4

円の面積は　1/4円の面積を4倍したものですから　π　が得られます。

円周率の求め方。

他の方も仰っているように、

タイトルと質問で他の回答者さんも迷っておられますが、私も積分結果がπであることを導きたいということだと思って書き込みます。

A = ∫∫[x^2+y^2≦1] dy dx は、極座標変換(置換積分のひとつ)をすれば、

質問の趣旨が

y=√(1-x^2)

Ｘ＾２＋Ｙ＾２＝１ から 第1象限だけに注目するとYはXの関数となり 次のように表されます。

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