指数関数の混ざった方程式についての計算なのですが、

指数関数の混ざった方程式についての計算なのですが、

y=(Mc*e^rt0)/(1+c*e^rt0)を計算してc=の形にすると
(ただし、t=t0の時、y=y0となります。）
c=(y0*e^-rt0)/(m-y0)となるらしいのですが
なぜこうなるのか分かりません。
計算過程を教えてください。

また、このcをy=(Mc*e^rt)/(1+c*e^rt)に代入すると
y=(My0*e^r(t-t0)/(M-y0+y0*e^r(t-t0))となるらしいです。
この計算方法もわからないです。
教えてください。

ちなみにこの計算は人口予測を求めるロジスティック方程式の理論解を導出する過程
ででてくるものです。

No.3 ベストアンサー 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2010/10/24 00:05

＞y=(Mc*e^rt0)/(1+c*e^rt0)を計算してc=の形にすると

＞ただし、t=t0の時、y=y0となります。）

　この式は、次の式のことですね。
　　y0=M*c*exp(r*t0)/{1+c*exp(r*t0)}

　ここで計算過程を簡略化させるため　exp(r*t0)=T とおきます。
　∴y0=McT/(1+cT)

　以下、式変形を進めていきます。
　y0=McT/(1+cT)
⇔y0=M{1-1/(1+cT)}
⇔y0/M=1-1/(1+cT)　　（M≠0なら）
⇔1/(1+cT)=1-y0/M
⇔1/(1+cT)=(M-y0)/M
⇔1+cT=M/(M-y0)　　　（分数の分母・分子をひっくり返しても両辺は等しいので。）
⇔cT=M/(M-y0)-1
⇔cT=y0/(M-y0)
⇔c=y0*T^(-1)/(M-y0)
∴c=y0*exp(-r*t0)/(M-y0)

　また、この c を c*exp(rt) に代入すると次のようになります。
　c*exp(rt)
=y0*exp(-r*t0)/(M-y0)*exp(rt)
=y0*exp{r(t-t0)}/(M-y0)

　したがって、y はつぎのようになります。
y=M*c*exp(r*t)/{1+c*exp(r*t)}
=M*y0*exp{r(t-t0)}/(M-y0)/[1+y0*exp{r(t-t0)}/(M-y0)]
=M*y0*exp{r(t-t0)}/[(m-y0)+y0*exp{r(t-t0)}]

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2010/10/23 23:53

それは、「指数関数の混ざった方程式」ではありません。

質問の式は、c については、一次分数式です。
e^ は、係数の中に登場するだけで、方程式の形には影響していません。
e^rt0 をカタマリと見て、E とでも置き換えてしまえば、
扱いやすくなるでしょう。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/10/23 23:47

「計算方法」と書かれてますけど, 「特別な何か」があると思っているのでしょうか?

もちろん工夫すればちょっとは簡単になりますが, 基本的には「素直に計算する」だけですよ.