0＜x＜π/4を満たす全てのxに対し、不等式 sin3x+tsin2x

0＜x＜π/4を満たす全てのxに対し、不等式 sin3x+tsin2x＞0が成り立っているとする。このときtの値の範囲を求める問題です。解説お願いします(T-T)

No.5 回答者： noname#121794 回答日時： 2010/11/09 10:54

あまりこのやり方はお勧めできないが、この問題ならではこそできるので見るといい。

(見るといいと言っても、大した方法ではないが)
xの場合分けに応じてできる。
まず0＜x＜π/4よりsin3x,sin2x>0より
必ずt≧0ならば題意は成り立つ。そこでt<0として以後進める。

sin3x>-tsin2x　・・・・(a) が任意のxが成立するようにtを定める。

(i) π/6≦x<π/4のとき
sin3xはこのとき単調減少かつsin2xは単調増加するので(a)を満たすようなtが成立するためには
x=π/4のときに　sin3x≧-tsin2xとなるtを定めればよい。するとt<0としているから
-√2/2≦t<0

(ii)0<x<π/6のとき
0<2x<3x<π/2であるので　このとき絶対sin3x>sin2xとなっている。(sintは0<t<π/2のときでは
単調増加関数であるため)
よってtが-√2/2≦t<0のとき
必ず
sin3x>-tsin2xを満たしている。

(i)(ii)を同時に満たすようなtの範囲は-√2/2≦t<0であることが分かって、もともとt≧0では
(a)が成立することが分かっているので最終的に求めるtの範囲は-√2/2≦t

何度も言うが君は不等式の証明をするときに今の方法ではおすすめできない。(実際今の方法で解ける
不等式は一部しかない。ただ見ておいて損はないが。)
だからsinx=tとおいて自分で計算練習した方がいい。

No.4 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2010/11/09 09:36

単なる2次関数と直線との交点の問題に過ぎないのに、わざわざ面倒に解く奴がいる。

。。。ｗ

sin3x+tsin2x＝(sinx)*{3-4sin＾2x+2t*cosx}である。
0＜x＜π/4よりsinx＞0だから、3-4sin＾2x+2tcosx＞0　‥‥(1)　が常に成立するtの値の条件を求めると良い。
cosx＝mとすると、条件から1/√2＜m＜1　‥‥(2)
(1)は　4m＾2＋2tm-1＞0から　2tm＞1-4m＾2 と変形できる。
従って、直線：y＝2tm が(2)の範囲で、常に2次曲線：y＝1-4m＾2の上にあるためのtの値の条件を求める。
my平面上に{mを横軸、yを縦軸にとる}直線：y＝2tmと2次曲線：y＝1-4m＾2を書く。
この直線は原点{0、0}を通る傾きが　2tの直線だから、点{1/√2、-1}より上であると良いから、2t≧ー√2　つまり、t≧－√2/2.

{注}tの条件には、等号がつく事を忘れずに。

No.3 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2010/11/08 19:34

　0<x<π/4 の範囲で　sin(2x)>0 ですので、

　　sin(3x)+t sin(2x)>0
　∴t>-sin(3x)/sin(2x)
　　　=-{-4sin(x)^3+3sin(x)}/{2sin(x)cos(x)}
　　　={4sin(x)^2-3}/{2cos(x)}
　　　={-4cos(x)^2+1}/{2cos(x)}
　　　=-2cos(x)+1/{2cos(x)}

　ここで、u=2cos(x) とおくと、次のように書き換えられます。
　　t>-u+1/u, √2<u<2　　　・・・・★

　-u+1/u は u>0 で単調減少するので、u=√2のとき最大値　-1/√2 をとります。
　式★を満たすｔは　-u+1/u の最大値より大きくなければなりませんので、
　　∴t>-1/√2
となります。

この回答へのお礼

なぜ答えに
等号がつくのですか？

お礼日時：2010/11/09 15:14

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2010/11/08 19:08

先ず、パラメータtをt=1,0,-1.5と変えて

y=sin(3x)+t sin(2x)
のグラフの概形を描いて見てください（添付図参照）。
このグラフは原点を通ります。
また、
x=π/4での
yの値が正または零のとき 0＜x＜π/4の全範囲で不等式が成立する。
yの値が負のとき 0＜x＜π/4の全範囲では不等式が成立しない。

したがって、求めるtの範囲は
　x=π/4の時 　y=sin(3π/4)+t sin(2π/4)=√2/2 +t≧0
　　∴t≧-√2/2

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/11/08 17:23

こんばんわ。

まずは、sin(x)＝ sとでもおいて変形を試みては？
当然、0＜ x＜π/4より sの取り得る値の範囲も限られますよね。