物理の微分方程式
高二です。塾で微分方程式を習ったのですが、さっぱりです。。。。
問 質点が速度Vに比例する抵抗力を受けて運動する際、V(t)、X(t)を求めよ。ただし、比例定数をk(>0)とする。
解 ma = mg-kv --1
a = dv/dt --2
v = dx/dt --3
1,2より dv/dt = g-kv/m
よって dv/dt = -k/m(v-mg/k) ---4 ←変数分離型
(1/v-mg/k)dv = -k/m dt ----5
ここから積分して、計算して
log{v(t)-mg/k} = C-kt/m ----6 (C=log{v(0)-mg/k}) {}は絶対値
そして {v(t)-mg/k} = e^C -e^-kt/m -----7
その後 v(t)=mg/k(1-e^-kt/m)(t≧0) となりました
質問 (1)初期条件ってなんですか?
(2)4→5の過程はなぜやるんですか?変数分離型ってなんですか?
(3)6→7の過程でなぜlogがとれるんですか?
(4)よければx(t)の答えを教えて下さい
とても困っています!部分的でもよいので教えて下さい、お願いします
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
(1)
たとえば、1個200円のお菓子をx個買うとして、箱代が必ずA円かかるとすると、
支払うお金 = y = 200x + A
ですよね?
ここで、
「5個買ったら、合計1100円だった」(x=5のときy=1100)
という条件を与えると、
1100 = 200×5 + A
より
A=100
となって、箱代100円が定まり、
y = 200x + 100
というふうに関数も定まります。
初期条件というのは、
「5個買ったら、合計1100円だった」
のことです。
(2)
dv/dt = -k/m(v-mg/k) のままで積分しようとすると、
∫dv/dt = ∫-k/m(v-mg/k)
となるので、変ですよね?
だから、dなんちゃらが左と右に1個ずつ、しかも分母にならないように来るように変形すると、
(1/v-mg/k)dv = -k/m dt
となります。
この式を見ると、vやdvは左辺にしかなく、tやdtは(この場合はtはありませんが)右辺にしかありません。
2つの変数が左右にうまく分離できているので、「変数分離」と言います。
(3)
6の両辺の指数を取っているだけです。
たとえば、log[2]8 = 3 ですが、底の2を使って両辺の指数を取ると、
8 = 2^3
となりますよね? 見た目、log[2]が消えたように見えますが、実際は指数を取っています。
左辺のlogが消えたことの代償(?)として、右辺は指数関数になっています。
それと同じことです。
右辺は、C-kt/m のeの指数を取って
e^(C-kt/m) = e^C・e^(-kt/m)
左辺は、
e^(log[e]{v(t)-mg/k}) = {v(t)-mg/k}
(4)
式3を見るとわかりますが、
x = ∫vdt
なので、上でも求まったvの式をぶち込んでtで積分するだけです。
この回答への補足
素早い回答本当にありがとうございます!
大変助かります!
(2)で
dv = -k/m(v-mg/k)dt
として積分するのはダメなんでしょうか?dとtの変数を分離させないと正確な値がでないということなのでしょうか?
No.3
- 回答日時:
No.1の回答者です。
コメントに答えます。
>>>
(2)で
dv = -k/m(v-mg/k)dt
として積分するのはダメなんでしょうか?dとtの変数を分離させないと正確な値がでないということなのでしょうか?
たとえば、一例として
v=Lx^2+Mx+N (L、M、Nは定数)
と与えられていれば、
∫-k/m(v-mg/k)dt
は計算できます。
単に v=Lt^2+Mt+N を代入してから積分すればよいのですからね。
しかし、最初からvとtの関係がわかっているならば、そもそもvを求めることの意味がないですよね。
vがtのどのような関数であるかがわからないから、微分方程式でその関数を求めるのです。
No.2
- 回答日時:
#1様が立派な回答を作られておられるので、私はそれについた疑問だけ回答を。
>(2)で
dv = -k/m(v-mg/k)dt
として積分するのはダメなんでしょうか?dとtの変数を分離させないと正確な値がでないということなのでしょうか?
問題文の中でご自身で
>V(t)、X(t)を求めよ。
と書かれておられますね。つまり、速度は時間の関数であり、正確に書くならば
dv = -k/m(v(t)-mg/k)dt
です。これを積分するにはあらかじめv(t)がどのようなtの関数であるかを知る必要があり、今はこのよくわからないvの形を定めようとしているわけです。
そもそもvの形が分かっているなら積分しなくとも、その形が解ですよね^w^
そんなわけで変数分離は積分計算が可能となるように、右辺と左辺にそれぞれの変数を寄せ集めてやるわけです。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 物理学 この運動の運動方程式を作る時 抵抗をγとして md^2x/dt^2=-γvx md^2x/dt^2= 1 2023/06/20 20:18
- 物理学 鉛直下向きにx軸をとる。真上に投げた物体の運動方程式をかけ。ただし物体には抵抗係数αの空気抵抗が働く 5 2023/06/20 02:04
- 物理学 物体に一定の大きさfの力をx軸の正の向きに加える。またこの物体には抵抗係数がγの速度に比例する抵抗力 2 2023/07/06 04:01
- 物理学 質量Mの気球が、密度ρの空気中にある 気球が一定の速さv0で下降していて、気球には抵抗係数γの空気抵 4 2023/07/04 04:08
- 数学 単振り子とルンゲ・タック法 1 2022/07/15 00:05
- 物理学 問a(t)=dv/dt=−0.5v(t) 微分方程式を解いてv(t)を求めよ ∫dv/v=−∫0.5 6 2022/05/23 21:13
- 物理学 相対論的運動方程式 1 2022/07/04 06:20
- 数学 dx/dt=x-2y +e^t dy/dt=-3x +2y+1 初期値[1,0] [x,y] この連 3 2023/05/15 18:23
- 数学 x=r・cosθの2回微分 θ=ωtとすると? 5 2022/05/10 23:53
- 物理学 物理の問題 3 2022/12/21 22:56
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
合成抵抗の問題で
-
不確定性原理の右辺は h? h/2π?...
-
両辺を違う文字で積分すること...
-
ムーディー線図
-
黒体輻射の熱力学的考察
-
式変形
-
sinθ=θ-(θ^3/3!)+(θ^5/5!)-・・...
-
数学計算 オリフィス
-
物理の途中の計算で mcΔT=1/2m×...
-
交流ブリッジ回路のインピーダンス
-
eのlog2乗がなんで2になるので...
-
数3の問題です。 何をしたら線...
-
(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3の因数...
-
logの問題でルートが出てきたと...
-
「分母を大きく」の意味
-
logの読み方
-
eのマイナス無限大乗
-
数3の数列の極限で、有利化をす...
-
数学 分母にルートの分数がある...
-
二酸化硫黄と硫化水素の酸化還...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
振り子の周期T[s]を振り子の長...
-
合成抵抗の問題で
-
両辺を違う文字で積分すること...
-
式変形
-
ベルヌーイの定理
-
E2=m2c4+p2c2
-
[0,1]区間上の関数f(x)=x^2に対...
-
量子化学の共鳴積分について
-
速度ポテンシャルと流れ関数
-
二次元極座標と微小距離
-
物理の公式の導出につきまして
-
過渡解は回路方程式の左辺 = 0...
-
不確定性原理の右辺は h? h/2π?...
-
熱物理学
-
次の等式を満たす整数x,yの組を...
-
ウェーバー・フェヒナーの法則...
-
E=mc^2は、エネルギーについ...
-
1KWh=3600KWではない?
-
グリーン関数とプロパゲータの...
-
衝突の式の誘導について
おすすめ情報