〝割り切れること〟から定数ｐ、ｑを求める…

Question

問題集で、

整数２ｘ【3乗】＋ｐｘ【2乗】＋ｑｘ＋１２が(ｘ－２)【2乗】で割り切れるとき、定数ｐ、ｑの値はいくらか？

というものがありました。
解答・解説を読みながら解いているので、ｘ【2乗】－４ｘ＋１２で与式を割り、
導かれた余りが(４ｐ＋ｑ＋２４)ｘ－４ｐ－２０になるのは分かっているのですが、どう割ったらこの余りが導かれるのかがさっぱり分かりません。

数学は学生時代から本当に苦手だったので、この解を導くまでの式がどうなっているのか、どうか分かりやすく教えて頂けないでしょうか？

※2乗、3乗の表し方が分からず式が見づらいものになってしまい申し訳ありません！

mister_moonlight · Accepted Answer

割り算がわからないなら、無理する事もない。
方法は、それしかないわけではない。

題意から、3次式を2次式で割った時、商は1次式になる事くらいは解るだろう。

その商を　ax+b とすると　割り切れるから、2x＾3+px＾2+qx+12＝(x-2)＾2*(ax+b)　と表せる。
右辺を展開すると、2x＾3゜+px＾2+qx+12＝ax＾3＋(b-4a)x+4(a-b)x＋4b　となる。
これは常に成立するから、両辺の係数を比較すると、a＝2、b＝3、b-4a＝p、q＝4(a-b)。
aとbの値を代入すると、p＝-5、q＝-4.

alice_44 · Answer

x = y + 2 と置いて、問題文中の x に代入し、
全て y に関する式に書き換えてしまえば、
ずっと簡単な問題になります。

WiredLogic · Answer

ｘの２乗なら、x^2 のように書くと、伝わりやすいでしょう。
^～で、～乗を表すのは、Excelやプログラミング言語のBASICで使われている方法です。

正直、何が質問の中心なのか、よく解らないのですが…

「(x-2)^2 で割り切れる」と書いてあるのに、(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 でなく、
「ｘ【2乗】－４ｘ＋１２で与式を割り」と書いてあるので、そこのミスで、割り算の答が合わない、とかいう可能性はありませんか？

でなくて、本当に式の割り算ができないのなら、なぜ、いきなり、問題集をやっているのでしょう？

問題集をやらなければならない事情を聞きたいのではなく、例えば、式の割り算が解らないのであれば…

数学IIの教科書や教科書傍用参考書を見れば、やり方の大筋が書いてあります。大筋だけで解らなければ、教科書ガイドや、教科書の内容を、基礎の段階に絞って説明してある参考書、例えば、文英堂の「これでわかる」シリーズなどに、かなり丁寧で詳しいやり方の説明があります。

まずは、こういうものを手に入れて読む、とか、最低、ネットでそういうサイトはないか探してみるのが、まっとうなやり方だと思うのですが、

その上で、割り算のこういうところが解らない、とか、割り算はできるようになったけど、この問題にどうあてはめていけばいいのか、解らない、という質問になら、回答のしようもあるのですが…

例えば、#1さんへの補足の「ｘ【３乗】やｘ【２乗】はどうやって消えたんだろう？？」なら、それは、消えたのでなく、消えるように、商をたてるのが、割り算だから、

数の割り算なら、25÷7 = 2 … 11 とやったら、まだ、７が残っていて、全部消せてないから、間違いで、25÷7 = 3 … 4 にしなさい、と、言われたでしょ、みたいに…

Tacosan · Answer

何も考えず, 素直に割ってください.

それとも, (たとえば) 「173 を 7 で割った余り」は 5 になるのですが, 「どうやったら 5 という余りが導かれるのかさっぱりわからない」ですか?

〝割り切れること〟から定数ｐ、ｑを求める…

割り算がわからないなら、無理する事もない。

x = y + 2 と置いて、問題文中の x に代入し、

ｘの２乗なら、x^2 のように書くと、伝わりやすいでしょう。

何も考えず, 素直に割ってください.

この回答への補足

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