ストークスの定理

ストークスの定理を使ってこの積分を解きたいのですが、どうストークスの定理を使えばよいか教えてください。
x=cos(t), y=sin(t), z=sin(t)の間で一周積分
∮xdy

No.2 ベストアンサー 回答者： noname#154783 回答日時： 2011/03/21 18:08

一般に，方程式 ax +by +cz + d = 0 で表される平面の法線ベクトルの1つは

(a,b,c)で表されます．

この問題の場合の平面の方程式 y = z を書き直すと，
0x + y - z + 0 = 0
となりますので，この平面の法線ベクトルの1つは
n' = (0,1,-1)
であることが判ります．

ただし，n'は単位ベクトルではありません．
また，ストークスの定理にでは，曲線Cの向きに右ねじを回したとき，右ねじが進む向き（これを単に「Cに対して右ねじの向き」といいます）に単位法線ベクトルをとりますが，n'はCに対して右ねじの向きになっているかどうかも判りません．

この問題の場合，平面 y = z は原点(位置ベクトルo = (0,0,0))を通り，
o + n' = (0,1,-1)
で表される点は，ANo.1の図より，Cに対して右ねじの向きにありません．
ということはn'の逆向きのベクトル
-n' = (0,-1,1)
は右ねじの向きになっているわけで，さらに-n'をこのベクトルの大きさ
|-n'| = √(0^2 + (-1)^2 + 1^2) = √2
で割り算すれば，右ねじの向きの単位法線ベクトルnが得られます：
n = -n'/|-n'| = (0,-1,1)/√2.

No.1 回答者： noname#154783 回答日時： 2011/03/11 00:03

積分路をCとすると，Cは添付した図のようになっています．

で，ベクトル場Aを

A = (0,x,0)

と置くと，問題の積分は次のように書けます：

∮_C x dy = ∮_C A・dr.

ただし，drは曲線Cに沿った微小変位ベクトルです．

さて，添付図において平面上y = zのCに囲まれた領域をSと置くと，
ストークスの定理は

∮_C A・dr = ∫_S (rot A)・n dS

と表せます．この右辺において，

rot A = k = (0, 0, 1)

であり，単位法線ベクトルは

n = (0, -1, 1)/√2

なので，

∫_S (rot A)・n dS
= k・n ∫_S dS
= (1/√2) ∫_S dS

であり，∫_S dS はCに囲まれた領域（長半径√2，短半径1の楕円）の面積であるから，

∫_S (rot A)・n dS
= (1/√2)×(√2)π
= π．

以上より，求める積分は

∮_C x dy = ∮_C A・dr = ∫_S (rot A)・n dS = π.

検算も兼ねて，ストークスの定理を使わずに計算すると（この場合，こっちのほうが楽）

∮_C x dy
= ∫[0,2π] cos^2 t dt
= (1/2)∫[0,2π] (1 + cos 2t)dt
= π

となって，確かに一致します．

この回答への補足

ありがとうございます！
出来れば単位法線ベクトルはどうやって求めたか教えていただけませんか？
お願いします。。。

補足日時：2011/03/21 17:19