下記の内容について質問します。
(P+a/Vm^2)(Vm-b)=RT ・・・式(1) ファンデルワールス式
P=RT/(Vm-b)-a/Vm^2・・・式(2) 式(1)変形式
式(2)をVmで微分すると、臨界点にてゼロとなる
(∂P/∂Vm)Tc = -(RTc/(Vmc-b)^2)+2a/Vmc^3 = 0 ・・・式(3)
式(2)をVmで二階微分すると、臨界点にてゼロとなる
(∂^2P/∂Vm^2)Tc = 2RTc/(Vmc-b)^3-6a/Vmc^4 = 0 ・・・式(4)
式(2)のa,bは式(3)および式(4)の関係を利用して
a = 9/8RTcVmc = 27R^2Tc^2/64Pc = 3PcVm^2 ・・・式(5)
b = Vmc/3 = RTc/8Pc ・・・式(6)
*私の知っている知識*
偏微分とは変数が複数ある式では、一部の変数(今回のケースはTc)を一定として仮定し通常の微分を行うこと。
微分とは、関数接点の傾きを求めること。(x^3が3x^2になる等)
これらをふまえて質問します。
質問1:式(2)→式(3)を導出する過程がわかりません(私の知っている知識にも記載しましたがx^3が3x^2となり指数が少なくなるはずなのに式(3)では指数が増えています)
質問2:式(2)→式(4)をを導出する過程がわかりません(質問1と同様の理由です)
質問3:式(5)および(6)を導出する過程がわかりません(単純な代入をしているのか?どのように変形させているのか、わからない状況です)
以上の3点です。
わかる方がいましたら、ご教授願います。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
質問1と2は回答No.1さんの通りですので、質問3の導出部分についてですが、
ご質問にあるとおり、単純な代数操作でできますので、一例をあげてみます。
式3と4から、式3+Vmc/3×式4とすると
-RTc/(Vmc-b)^2+2VmcRTc/3(Vmc-b)^3=0
これをbについて解くと
b=Vmc/3 (Vmc=3b)式7,8
が導けます。
このbを式3に代入すると
-RTc/(Vmc-Vmc/3)^2+2a/Vm3=0
これをaについて解くと
a=9RTcVmc/8 (Vmc=8a/9RTc)式9,10
式2から
Pc=RTc/(Vm-b)-a/Vm^2
に式7と式10を代入すると
Pc=3RTc/2Vm-a/(8a/9RTc)^2
式10より
Pc=3RTc/2(8a/9RTc)-a/(8a/9RTc)^2
これをaについて解くと
a=27R^2Tc^2/64Pc 式11
式9に式8を代入すると
a=27RTcb/8
式11より
27RTcb/8=27R^2Tc^2/64Pc
これをbについて解くと
b=RTc/8Pc (RTc=8Pcb=8PcVm/3)式12,13
式2と式7,13より
Pc=(8PcVm/3)/(Vm-Vm/3)-a/Vm^2
これをaについて解くと
a=3PcVm^2
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