中学受験の過去問でこまってます

問：１から５０までの整数の積は６で何回わりきれますか？


プロセスもよろしくお願いします

No.1 回答者： nag0720 回答日時： 2011/05/01 19:10

１から５０のうち、

３の倍数は、１６個
９の倍数は、５個
２７の倍数は、１個
計２２個なので、１から５０までの積を３で割ると、２２回で割り切れます。
２で割りきれる回数は２２回より多いので、６で割りきれる回数は２２回となります。

No.2 ベストアンサー 回答者： nattocurry 回答日時： 2011/05/01 23:11

6で何回割り切れるかを求めるには、

6を素因数分解すると2×3なので、
2で何回割り切れるのかを求め、
3で何回割り切れるのかを求め、
その少ないほうが求める答えになります。

たとえば、2×2×2×3×3×5×7という数なら、2で3回割り切れて、3で2回割り切れるから、6では2回割り切れることになります。

さて、
1×2×3×・・・×48×49×50
が2で何回割り切れるかは、
2の倍数だけを調べればよいので、
2×4×6×・・・×46×48×50
が2で何回割り切れるかを調べればよいです。
＝2^25×(1×2×3×・・・×23×24×25)
さらに
2^25×(2×4×6×・・・×20×22×24)
を調べると
＝2^25×2^12×(1×2×3×・・・×10×11×12)

2^25×2^12×(2×4×6×8×10×12)
＝2^25×2^12×2^6×(1×2×3×4×5×6)

2^25×2^12×2^6×(2×4×6)
＝2^25×2^12×2^6×2^3×(1×2×3)

2^25×2^12×2^6×2^3×2^1
＝2^47

2で47回割り切れる。

これは、次のようにしても求めることができます。

50÷2＝25　・・・　25回
50÷4＝12.5　・・・　12回
50÷8＝6.25　・・・　6回
50÷16＝3.125　・・・　3回
50÷32＝1.5625　・・・　1回
50÷64＝0.78125　・・・　0回

25回＋12回＋6回＋3回＋1回＝47回

こっちのほうが簡単ですね。

同様に、3で何回割り切れるか調べてみましょう。

50÷3＝16.666　・・・　16回
50÷9＝5.555　・・・　5回
50÷27＝1.85185　・・・　1回
50÷81＝0.61728　・・・　0回

16回＋5回＋1回＝22回

3で割り切れる回数のほうが少ないので、6で割り切れる回数は22回。