ε-δ論法による関数の連続性について

f：R→R を
　f(x)=x^(1/3)　（xの3乗根）
と定めます．このとき f が R上連続であることはε-δ論法でどう示せばよいでしょうか？

任意の ε>0，a∈R をとったときに，
　0<|x-a|<δ ⇒ |x^(1/3) - a^(1/3)|<ε
となる δ>0 の存在が言えればいいわけですが，このδを具体的にどう決定してあげればいいかわかりません．

よろしくお願いします．

（見づらいと思うので画像を参照してください）

No.1 回答者： reiman 回答日時： 2011/05/19 20:37

例えば

δ＝a＾（２／３）・３／４
とすればよい

No.2 回答者： reiman 回答日時： 2011/05/19 20:42

δ＝ε・a＾（２／３）・３／４

の間違い

No.3 回答者： reiman 回答日時： 2011/05/19 20:50

「0<|x-a|<δ ⇒ |x^(1/3) - a^(1/3)|<ε」

は
「|x-a|<δ ⇒ |x^(1/3) - a^(1/3)|<ε」
とすべき


「f が R上連続である」
は
「f が R＋上連続である」
とすべき

R＋：正の実数の集合

この回答への補足

> reiman 様

回答ありがとうございます．

>「0<|x-a|<δ ⇒ |x^(1/3) - a^(1/3)|<ε」は「|x-a|<δ ⇒ |x^(1/3) - a^(1/3)|<ε」とすべき

関数の連続性の場合は確かにそうすべきですね．

>「f が R上連続である」は「f が R＋上連続である」とすべき

とありますが，nを奇数とするとき，f(x)=x^(1/n)はR上で定義できるので，R上のままでいいのではないでしょうか？
勘違いでしたらすいません．

>δ＝ε・a^(2/3)・(3/4)

これを導いた過程をもう少し詳しく教えていただけますか？

補足日時：2011/05/19 21:25

No.4 回答者： noname#133363 回答日時： 2011/05/19 21:26

fは各実数にその実3乗根を対応させる関数ですよね。

・a>0の場合
何でもいいからλ（0<λ<1）を1つ選んで、|x-a|<λaとすると
0<(1-λ)a<x
なので
|x^(1/3)-a^(1/3)|
=|x-a|/{x^(2/3)+a^(2/3)+(ax)^(1/3)}
<|x-a|/K
ただし
K=a^(2/3){(1+(1-λ)^(2/3)+(1-λ)^(1/3)}>0。
δ=min {εK, λa}
とでもすればいいですね。

・a<0の場合も似たような感じか。

・a=0の場合δ=ε^3でいいですかね。

No.5 ベストアンサー 回答者： reiman 回答日時： 2011/05/20 06:44

RとしてR+をとらないのならばa=0となりうるので

a=0のときにはNo.4のようにδ=ε^3とでもおかなければならない
a≠0のときには以下のとおり

|x-a|<δ=(3/4)・a^(2/3)・ε
⇨
|x^(1/3)-a^(1/3)|・(x^(2/3)+x^(1/3)・a^(1/3)+a^(2/3))<(3/4)・a^(2/3)・ε
⇨
|x^(1/3)-a^(1/3)|・((x^(1/3)+a^(1/3)/2)^2+(3/4)・a^(2/3))<(3/4)・a^(2/3)・ε
⇨
|x^(1/3)-a^(1/3)|・(3/4)・a^(2/3)<(3/4)・a^(2/3)・ε
⇨
|x^(1/3)-a^(1/3)|<ε