整数nにたいしf(n)=n^3 +5nは常に□の倍

整数nにたいしf(n)=n^3 +5nは常に□の倍数である

という問題で
一回目の場合わけはkを任意の整数とするときn=2k、n=2k+1として調べて
二回目でn=3k,3k±1,3k+2とおいて調べ、結果的に6の倍数であるというようは問題なのですが

二回目の場合わけの3k±1は3k+1でも大丈夫ですよね？
大丈夫だとは思うんですが自信があまりもてなくて…
解答宜しくお願いします

No.1 ベストアンサー 回答者： k14i12d 回答日時： 2013/08/15 14:33

3k±1とおくなら3k+2はいらない。

3k+1、3k+2とおくなら3k-1はいらない。

No.4 回答者： staratras 回答日時： 2013/08/15 22:28

場合分けは、これまでの回答に示されている通りです。

別解としては、f(n)=n(n+1)(n+2)-3(n-1)n と変形します。

第1項は連続する３つの整数なので、必ず２の倍数と3の倍数を含み、2と3は互いに素であるため6の倍数、第2項も必ず２の倍数を含む連続する2つの整数と３の積なので6の倍数となり、f(n)は常に6の倍数となります。

No.3 回答者： spring135 回答日時： 2013/08/15 14:55

>二回目でn=3k,3k±1,3k+2とおいて調べ

１ケースダブっています。正しくは

a) n=3k,3k+1,3k+2

または

b) n=3k,3k+1,3k-1

のどちらかでよろしい。

理由は

3k-1=3(k-1)+2

だからです。

要するに3で割って余りが0,1,2のケースしかないといっているわけです。

No.2 回答者： k14i12d 回答日時： 2013/08/15 14:40

ちなみに解答としては、そんな大量に場合わけするよりは、

n(n^2+5)
として、ある平方数n^2は3の倍数または、3で割って1余る数にしかならないことを利用した方がシンプルに解ける。